İkizkenar üçgen özellikleri, formül ve alan, hesaplama



bir ikizkenar üçgen Üç taraflı bir çokgen, ikisinin de aynı ölçüme sahip olması ve üçüncü tarafın farklı bir ölçüme sahip olması. Bu son tarafa baz denir. Bu özelliği nedeniyle, Yunanca'da "eşit bacaklar" anlamına gelen bu isim verildi.

Üçgenler, geometride en basit olduğu düşünülen çokgenlerdir, çünkü üç taraf, üç açı ve üç köşe tarafından oluşturulurlar. Diğer poligonlara göre en az yanlara ve açılara sahip olanlardır, ancak kullanımı çok geniştir.

indeks

  • 1 ikizkenar üçgenlerin özellikleri
    • 1.1 Bileşenleri
  • 2 Özellikler
    • 2.1 İç açılar
    • 2.2 Tarafların toplamı
    • 2.3 Eşleşen taraflar
    • 2.4 Eşlenik açılar
    • 2.5 Yükseklik, medyan, bisector ve bisector çakışmaktadır
    • 2.6 Göreceli yükseklikler
    • 2.7 Ortocenter, barycenter, incenter ve sirkentçi çakışıyor
  • 3 Çevre nasıl hesaplanır?
  • 4 Yükseklik nasıl hesaplanır?
  • 5 Alan nasıl hesaplanır??
  • 6 Üçgenin tabanı nasıl hesaplanır??
  • 7 Alıştırmalar
    • 7.1 İlk egzersiz
    • 7.2 İkinci alıştırma
    • 7.3 Üçüncü alıştırma
  • 8 Kaynakça

İkizkenar üçgenlerin özellikleri

İkizler üçgeni, yanlarından birinin ölçüsü kullanılarak bir parametre olarak sınıflandırıldı, çünkü iki tarafı uyumlu (aynı uzunlukta).

İç açıların genliğine göre, ikizkenar üçgenler şöyle sınıflandırılır:

  • Dikdörtgen ikizkenar üçgen: yanlarından ikisi eşit. Açılarından biri düz (90)veya) ve diğerleri aynı (45)veya her biri)
  • İkizkenar geniş açı üçgen: yanlarından ikisi eşit. Açılarından biri geniş (> 90veya).
  • İkizkenar akut açılı üçgen: yanlarından ikisi eşit. Bütün açıları keskindir (< 90veya), ikisinin aynı ölçüme sahip olduğu yerlerde.

bileşenler

  • Ortanca: bir tarafın ortasından ayrılan ve karşı köşeye ulaşan bir çizgidir. Üç ortanca centroid veya centroid denilen bir noktada hemfikir.
  • Bisektör: Her tepe noktasının açısını eşit büyüklükteki iki açıya bölen bir ışındır. Bu yüzden simetri ekseni olarak bilinir ve bu tip üçgenler sadece bir taneye sahiptir..
  • Mediatrix: Bunun ortasında çıkan üçgenin kenarına dik olan bir segmenttir. Üçgenin içinde üç tane arabuluculuk var ve circuncentro adı verilen bir noktada aynı fikirde.
  • Yükseklik: tepe noktasından zıt tarafa giden çizgidir ve bu çizgi o tarafa diktir. Tüm üçgenlerin ortosent denilen bir noktaya denk gelen üç yüksekliği vardır..

özellikleri

İkizkenar üçgenler tanımlanmış veya tanımlanmıştır, çünkü büyük matematikçiler tarafından önerilen teoremlerden kaynaklanan, kendilerini temsil eden birkaç özelliği vardır:

İç açıları

İç açıların toplamı her zaman 180'e eşittirveya.

Tarafların toplamı

İki tarafın önlemlerinin toplamı her zaman üçüncü tarafın ölçüsünden büyük olmalıdır, a + b> c.

Kongruent tarafları

İkizkenar üçgenler aynı ölçü veya uzunlukta iki tarafa sahip; yani, onlar uyumlu ve üçüncü taraf bunlardan farklı.

Kongruent açıları

İzoscel üçgenleri aynı izolatör üçgenleri olarak da bilinir, çünkü aynı ölçüme sahip iki açıları vardır (eşler). Bunlar, üçgenin tabanında, aynı uzunluktaki kenarların karşısında bulunur..

Bu nedenle, bunu belirleyen teorem:

"Üçgenin iki uyumlu kenarı varsa, bu tarafların karşısındaki açılar da uyumlu olacaktır." Bu nedenle, bir üçgen ikizkenar ise, tabanlarının açıları uyumludur..

örnek:

Aşağıdaki şekilde ABC üçgeni gösterilmektedir. Bektörünü B açısının tepe noktasından tabana kadar izleyerek, üçgen BDA ve BDC'ye eşit iki üçgene bölünür:

Böylece, tepe B'nin açısı da iki eşit açıda bölünmüştür. Bisektör şimdi bu iki yeni üçgen arasında ortak olan taraf (BD) iken, AB ve BC tarafları uyumlu taraflardır. Böylece yan uyum, yanal, açılı, yan (LAL) durumunuz var.

Bu, A ve C tepe noktalarının açılarının aynı ölçüme sahip olduğunu göstermektedir, tıpkı BDA ve BDC üçgenleri uyumlu olduğundan, AD ve DC taraflarının da uyumlu olduğunu gösterdiği gibi.

Yükseklik, medyan, bisector ve bisector çakışmaktadır

hat ikizkenar üçgen tabanının orta noktasına tabana zıt tepe çekilir, hem yükseklik hem de, orta ve açıortay, hem de bir baz ters köşe açıortay olduğunu.

Tüm bu bölümler kendilerini temsil eden bir tanede çakışıyor.

örnek:

Aşağıdaki şekil, tabanı, BM ve CM'nin iki segmentine ayıran M orta noktalı M üçgenini göstermektedir..

M noktasından zıt tepe noktasına bir parça çizdiğinizde, tanım gereği, A köşesine ve BC tarafına göre olan medyan AM elde edersiniz..

AM kesimi, ABC üçgenini iki eşit üçgene (AMB ve AMC) böldüğü için, yan, açı, yan eşzamanlılık durumunun alınacağı ve bu nedenle de AM'nin BÂC'nin bisektörü olacağı anlamına gelir..

Bu yüzden bisektör her zaman ortancaya eşit olacak ve tam tersi.

AM segmenti, AMB ve AMC üçgenleri için aynı ölçüme sahip olan açıları oluşturur; yani, her birinin ölçüsünün aşağıdaki gibi olacağı şekilde destekleyicidirler:

Med (AMB) + Med (AMC) = 180veya

2 * Med. (AMC) = 180veya

Med. (AMC) = 180veya ÷ 2

Med. (AMC) = 90veya

AM bölümünün üçgen tabanına göre oluşturduğu açıların düz olduğu ve bu bölümün tabana tamamen dik olduğu anlaşılabilir..

Bu nedenle M'nin orta nokta olduğunu bilerek, yüksekliği ve biseri temsil eder..

Bu nedenle düz çizgi AM:

  • BC'nin yüksekliğini temsil eder.
  • Bu orta.
  • BC'nin mediatrisinde bulunur.
  • Bu köşe açısının bisector olduğunu Â

Bağıl yükseklikler

Eşit taraflara göre yükseklikler aynı ölçüye sahiptir..

İkizkenar üçgen iki eşit tarafa sahip olduğundan, iki yükseklikleri de eşit olacaktır.

Ortocenter, barycenter, incenter ve circenter çakışıyor

Aynı doğrultusunda vardı yani ikiye bölen ve bazında yüksekliği, orta açıortay olarak, kolineer puan olması circumcenter tek bir segment, orthocenter, ve ağırlık incentro hem temsil edilir:

Çevre nasıl hesaplanır?

Bir çokgenin çevresi, kenarların toplamı ile hesaplanır..

Bu durumda ikizkenar üçgen aynı ölçüde iki tarafa sahip olduğundan, çevresi aşağıdaki formülle hesaplanır:

P = 2*(a tarafı) + (b tarafı).

Yükseklik nasıl hesaplanır?

Yükseklik, tabana dik olan çizgidir, üçgeni zıt tepe noktasına uzanarak iki eşit parçaya böler.

Yükseklik karşı bacağını (a), tabanın yarısını (b / 2) bitişik bacağına ve "a" tarafı hipotenusu temsil eder.

Pisagor teoremini kullanarak, yüksekliğin değerini belirleyebilirsiniz:

için2 + b2 = c2

burada:

için2 = yükseklik (saat).

b2 = b / 2.

c2 = a tarafı.

Pisagor teoreminde bu değerleri değiştirmek ve sahip olduğumuz yüksekliği temizlemek:

h2 + (b / 2)2 = için2

h2 + b2 / 4 = için2

h2 = için2 - b2 / 4

h = √ (için2 - b2 / 4).

Eş tarafların oluşturduğu açı biliniyorsa, yükseklik aşağıdaki formülle hesaplanabilir:

Alan nasıl hesaplanır??

Üçgenin alanı her zaman aynı formülle hesaplanır, tabanın yüksekliği ile çarpılır ve ikiye bölünür:

Üçgenin sadece iki tarafının ölçümleri ve bunlar arasında oluşan açının bilindiği durumlar vardır. Bu durumda, alanı belirlemek için trigonometrik oranları uygulamak gerekir:

Üçgenin tabanı nasıl hesaplanır??

İkizler üçgeninin iki eşit kenarı olduğundan, tabanının değerini belirlemek için en azından yükseklik veya açılarından birinin ölçüsünü bilmek gerekir..

Pisagor teoreminin yüksekliğini bilmek:

için2 + b2 = c2

burada:

için2 = yükseklik (saat).

c2 = a tarafı.

b2 = b / 2, bilinmiyor.

B'yi temizledik2 formülü ve biz zorundayız:

b2 = a2 - c2

b = √ a2 - c2

Bu değer tabanın yarısına karşılık geldiğinden, ikizkenar üçgenin tabanının tam ölçüsünü elde etmek için iki ile çarpılmalıdır:

b = 2 * (√ a2 - c2)

tek bir değer eşit kenara bilinen durumunda, bu arasındaki açı olarak, trigonometri iki sağ üçgenler ikizkenar üçgen bölen tabanına tepesinden bir çizgi işareti ile uygulanır.

Bu şekilde, tabanın yarısı şu şekilde hesaplanır:

Aynı zamanda, sadece tabana zıt olan tepe noktasının yüksekliğinin ve açısının değerinin bilinmesi de mümkündür. Bu durumda trigonometri ile baz belirlenebilir:

eğitim

İlk egzersiz

İki tarafı 10 cm, üçüncü tarafı 12 cm ölçmekle bilerek ikizkenar üçgen ABC bölgesini bulun.

çözüm

Üçgenin alanını bulmak için, Pisagor Teoremi ile ilgili alanın formülünü kullanarak yüksekliği hesaplamak gerekir, çünkü eşit taraflar arasında oluşan açının değeri bilinmemektedir..

İki ikiz üçgen hakkında aşağıdaki verilere sahibiz:

  • Eşit taraflar (a) = 10 cm.
  • Taban (b) = 12 cm.

Formüldeki değerler değiştirilir:

İkinci alıştırma

Bir ikizkenar üçgenin iki eşit kenarının uzunluğu 42 cm, bu kenarların birliği 130 açı oluştururveya. Üçüncü tarafın değerini, bu üçgenin alanını ve çevreyi belirleyin..

çözüm

Bu durumda, yanların ölçüleri ve bunlar arasındaki açı bilinmektedir..

Kayıp tarafın değerini, yani bu üçgenin tabanını bilmek için, ona dik bir çizgi çizilir ve açı, iki eşit parçaya bölünür, oluşan her sağ üçgen için birer.

  • Eşit taraflar (a) = 42 cm.
  • Açı (Ɵ) = 130veya

Şimdi trigonometri ile bazın yarısının değeri hesaplanır ve bu da hipotenüsün yarısına karşılık gelir:

Alanı hesaplamak için, trigonometri ya da Pisagor teoremi tarafından hesaplanabilen bu üçgenin yüksekliğini bilmek gerekir, şimdi bazın değeri zaten belirlendi..

Trigonometri ile şöyle olacaktır:

Çevre hesaplanır:

P = 2*(a tarafı) + (b tarafı).

P = 2* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Üçüncü egzersiz

Taban açısının  = 55 olduğunu bilerek, ikizkenar üçgen iç açılarını hesaplayınveya

çözüm

İki eksik açıyı bulmak için (Ê ve Ô) üçgenlerin iki özelliğini hatırlamak gerekir:

  • Her üçgenin iç açılarının toplamı her zaman = 180 olacaktır.veya:

 + Ê + Ô = 180 veya

  • Bir ikizkenar üçgeninde, tabanın açıları daima uyumludur, yani, aynı ölçüme sahiptirler, bu nedenle:

 = Ô

Ê = 55veya

Ê açısının değerini belirlemek için, ilk kuraldaki diğer açıların değerlerini değiştirin ve clear işaretini kaldırın:

55veya + 55veya + Ô = 180 veya

110 veya + Ô = 180 veya

Ô = 180 veya - 110 veya

Ô = 70 veya.

referanslar

  1. Álvarez, E. (2003). Geometrinin Elemanları: Çok sayıda alıştırma ve pusulanın geometrisi ile. Medellin Üniversitesi.
  2. Álvaro Rendón, A.R. (2004). Teknik Çizim: etkinlikler defteri.
  3. Angel, A.R. (2007). İlköğretim Cebiri Pearson Eğitimi.
  4. Arthur Goodman, L. H. (1996). Analitik geometri ile cebir ve trigonometri. Pearson Eğitimi.
  5. Baldor, A. (1941). Cebir. Havana: Kültür.
  6. José Jiménez, L. J. (2006). Matematik 2.
  7. Tuma, J. (1998). Mühendislik Matematiği El Kitabı. Wolfram MathWorld.