Ölçek üçgen özellikleri, formül ve alanlar, hesaplama



bir skalen üçgeni Herkesin farklı ölçülere veya uzunluklara sahip olduğu üç taraflı bir çokgen; Bu nedenle Latince'de tırmanma anlamına gelen scalene adı verilmiştir..

Üçgenler, geometride en basit sayılan poligonlardır, çünkü bunlar üç taraf, üç açı ve üç köşedir. Skalen üçgeni durumunda, farklı taraflara sahip olduğu için, üç açısının da farklı olacağı anlamına gelir..

indeks

  • 1 Skalen üçgenlerinin özellikleri
    • 1.1 Bileşenleri
  • 2 Özellikler
    • 2.1 İç açılar
    • 2.2 Tarafların toplamı
    • 2.3 Tutarsız taraflar
    • 2.4 Uyumsuz açılar
    • 2.5 Yükseklik, medyan, bisector ve bisector çakışmaz
    • 2.6 Ortocenter, barycenter, incenter ve circenter rastlantısal değildir
    • 2.7 Göreceli yükseklikler
  • 3 Çevre nasıl hesaplanır?
  • 4 Alan nasıl hesaplanır??
  • 5 Yükseklik nasıl hesaplanır?
  • 6 Taraflar nasıl hesaplanır??
  • 7 Alıştırmalar
    • 7.1 İlk egzersiz
    • 7.2 İkinci alıştırma
    • 7.3 Üçüncü alıştırma
  • 8 Kaynakça

Skalen üçgenlerinin özellikleri

Ölçek üçgenler basit çokgenlerdir, çünkü yanları veya açıları hiçbiri ikizkenar ve eşkenar üçgenlerin aksine aynı ölçüme sahip değildir..

Tüm yanları ve açıları farklı ölçümlere sahip olduğundan, bu üçgenler düzensiz dışbükey çokgenler olarak kabul edilir.

İç açıların genliğine göre, skalen üçgenler şöyle sınıflandırılır:

  • Ölçekli dikdörtgen üçgeni: bütün tarafları farklı. Açılarından biri düz (90)veya) ve diğerleri keskin ve farklı ölçülerde.
  • Ölçek geniş açı açısı üçgeni: bütün tarafları farklı ve açılardan biri geniş (> 90veya).
  • Ölçek akut açı üçgeni: bütün tarafları farklı. Bütün açıları keskindir (< 90veya), farklı önlemlerle.

Skalen üçgenlerinin bir diğer özelliği de, yanlarının ve açılarının uyumsuzluğundan dolayı, simetri ekseninin olmamasıdır..

bileşenler

Ortanca: bir tarafın ortasından ayrılan ve karşı köşeye ulaşan bir çizgidir. Üç ortanca centroid veya centroid denilen bir noktada hemfikir.

Bisektör: her açıyı eşit büyüklükteki iki açıya bölen bir ışındır. Üçgenin bisektörleri incentro denilen noktada hemfikir.

Mediatrix: Bunun ortasında çıkan üçgenin kenarına dik olan bir segmenttir. Üçgende üç mediatrik vardır ve ortasent denilen bir noktada aynı fikirdedir..

Yükseklik: tepe noktasından zıt tarafa giden çizgidir ve bu çizgi o tarafa diktir. Tüm üçgenlerin, ortokenter adı verilen bir noktada çakışan üç yüksekliği vardır..

özellikleri

Ölçek üçgenleri, büyük matematikçiler tarafından önerilen teoremlerden kaynaklanan, kendilerini temsil eden birkaç özelliğe sahip oldukları için tanımlanır veya tanımlanır. Onlar:

İç açıları

İç açıların toplamı her zaman 180'e eşittirveya.

Tarafların toplamı

İki tarafın önlemlerinin toplamı her zaman üçüncü tarafın ölçüsünden büyük olmalıdır, a + b> c.

Tutarsız taraflar

Skalen üçgenlerinin tüm tarafları farklı ölçülere veya uzunluklara sahiptir; yani, onlar uyumsuz.

Tutarsız açılar

Skalen üçgenin tüm tarafları farklı olduğu için açıları da farklı olacaktır. Bununla birlikte, iç açıların toplamı her zaman 180º'e eşit olacaktır ve bazı durumlarda açılarının biri geniş ya da düz olabilir, bazılarında ise tüm açıların akut olması.

Yükseklik, medyan, bisector ve bisector tesadüf değil

Herhangi bir üçgende olduğu gibi, skalenin, onu oluşturan çeşitli düz çizgiler kesimleri vardır: yükseklik, ortanca, bisektör ve bisektör.

Yanlarının özelliğinden dolayı, bu üçgen türünde bu çizgilerin hiçbiri tek bir çizgide çakışmayacaktır..

Ortocenter, barycenter, incenter ve çevreleyen tesadüf değildir

Yükseklik, medyan, bisector ve bisector düz çizgilerin farklı bölümleriyle temsil edildiğinden, bir scalene üçgeninde buluşma noktaları - ortocenter, centrocenter, incenter ve circenter - farklı noktalarda bulunur (çakışma olmaz).

Üçgenin akut, dikdörtgen veya ölçekli olmasına bağlı olarak, ortocenter farklı konumlara sahiptir:

a. Üçgen akut ise, ortocenter üçgenin içinde olacaktır..

b. Üçgen bir dikdörtgen ise, orkestra düz tarafın tepe noktası ile örtüşecektir.

c. Eğer üçgen genişse, orkestra üçgenin dış tarafında olacaktır..

Bağıl yükseklikler

Yükseklikler yanlara göre.

Skalen üçgeni durumunda, bu yükseklikler farklı ölçümlere sahip olacaktır. Her üçgenin üç bağıl yüksekliği vardır ve bunları hesaplamak için Heron formülü kullanılır..

Çevre nasıl hesaplanır?

Bir çokgenin çevresi, kenarların toplamı ile hesaplanır..

Bu durumda, skala üçgeni her yönüyle farklı ölçülere sahip olduğundan, çevresi şöyle olacaktır:

P = a tarafı + yan b + tarafı c.

Alan nasıl hesaplanır??

Üçgenin alanı her zaman aynı formülle hesaplanır, tabanın yüksekliği ile çarpılır ve ikiye bölünür:

Alan = (taban * h) ÷ 2

Bazı durumlarda, skala üçgeninin yüksekliği bilinmemektedir, ancak matematikçi Heron tarafından bir üçgenin üç tarafının ölçümünü bilen alanı hesaplamak için önerilen bir formül vardır..

burada:

  • a, b ve c, üçgenin kenarlarını temsil eder..
  • sp, üçgenin semiperimetresine, yani çevrenin yarısına karşılık gelir:

sp = (a + b + c) ÷ 2

Üçgenin sadece iki tarafının ve bunlar arasında oluşan açının ölçüsünün olması durumunda, alan, trigonometrik oranlar uygulanarak hesaplanabilir. Yani yapmak zorundasın:

Alan = (yan * h) ÷ 2

Yüksekliğin (h) bir tarafın karşıt açının sinüsüyle çarpımı olduğu yerde. Örneğin, her taraf için alan şöyle olacaktır:

  • Alan = (b * c * sen A) ÷ 2
  • Alan = (a * c * sen B) ÷ 2.
  • Alan = (a * b * sen C) ÷ 2

Yükseklik nasıl hesaplanır?

Skalen üçgenin her tarafı farklı olduğu için, yüksekliği Pisagor teoremi ile hesaplamak mümkün değildir.

Üçgenin üç tarafının ölçümlerine dayanan Heron formülünden alan hesaplanabilir.

Yükseklik, alanın genel formülünden temizlenebilir:

Yan, a, b veya c tarafının ölçümü ile değiştirilir.

Açılardan birinin değeri bilindiğinde yüksekliği hesaplamanın başka bir yolu, yüksekliğin üçgenin bir ayağını temsil edeceği trigonometrik oranları uygulamaktır.

Örneğin, yüksekliğe zıt açı bilindiğinde, sinüs tarafından belirlenir:

Taraflar nasıl hesaplanır??

İki tarafın ölçüsüne ve bunların karşısındaki açıya sahip olduğunuzda, kosinüs teoremini uygulayarak üçüncü tarafın belirlenmesi mümkündür..

Örneğin, AB üçgeninde, AC segmentine göre yükseklik çizilir. Bu şekilde üçgen iki doğru üçgene ayrılır.

C-tarafını hesaplamak için (AB segmenti), Pisagor teoremi her üçgene uygulanır:

  • Mavi üçgen için yapmanız gerekenler:

c2 = h2 + m2

M = b - n olarak değiştirilir:

c2 = h2 + b2 (b - n)2

c2 = h2 + b2 - 2bn + n2.

  • Pembe üçgen için yapmanız gerekenler:

h2 = a2 - n2

Önceki denklemde değiştirilir:

c2 = a2 - n2 + b2 - 2bn + n2

c2 = a2 + b2 - 2BN.

Bunu bilmek n = a * cos C, önceki denklemde değiştirilir ve c tarafının değeri elde edilir:

c2 = a2 + b2 - 2b* için * C çünkü.

Cosines Yasası ile, taraflar şöyle hesaplanabilir:

  • için2 = b2 + c2 - 2b* c * çünkü A.
  • b2 = a2 + c2 - 2* c * çünkü B.
  • c2 = a2 + b2 - 2b* için * C çünkü.

Üçgenin kenarlarının ölçümlerinin bilinmediği, ancak yüksekliklerinin ve köşelerinde oluşan açıların olduğu durumlar vardır. Bu durumlarda alanı belirlemek için trigonometrik oranları uygulamak gerekir.

Bir köşesinin birinin açısını bilerek, bacaklar tanımlanır ve karşılık gelen trigonometrik oran kullanılır:

Örneğin, AB katetusu C açısının karşısına gelecek, ancak A açısına bitişik olacaktır, yüksekliğe karşılık gelen tarafa veya katetere bağlı olarak, diğer taraf bunun değerini elde etmek için temizlenir..

eğitim

İlk egzersiz

Kenarlarını bilerek ABC'nin scalen üçgeni yüksekliğini ve alanını hesaplayın:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

çözüm

Verilerde, scalen üçgeninin üç tarafının ölçümleri verilmiştir..

Yükseklik değerine sahip olmadığınız için Heron formülünü uygulayarak alanı belirleyebilirsiniz..

İlk önce semiperimetre hesaplanır:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Şimdi Heron formülündeki değerler değiştirildi:

Alanın bilinmesi, b tarafındaki nispi yükseklik hesaplanabilir. Genel formülden, temizlediğiniz:

Alan = (yan * h) ÷ 2

46, 47 cm2 = (12 cm * h) ÷ 2

h = (2 * 46,47 cm2) ÷ 12 cm

h = 92.94 cm2 ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

İkinci alıştırma

Ölçekleri: ABC, hangi ölçüleri şunlardır:

  • AB segmenti = 25 m.
  • Segment BC = 15 m.

B köşesinde 50 ° 'lik bir açı oluşur. Göreceli yüksekliği yan c, çevre ve o üçgenin alanına göre hesaplayın.

çözüm

Bu durumda iki tarafın önlemleri vardır. Yüksekliği belirlemek için üçüncü tarafın ölçümünü hesaplamak gerekir..

Verilen tarafların karşısındaki açı verildiğinden, AC tarafının (b) ölçümünü belirlemek için kosinüs yasasını uygulamak mümkündür:

b2 = a2 + c2 - 2*c * çünkü B

burada:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50veya.

Veri değiştirildi:

b2 = (15)2 + (25)2 - 2*(15)*(25) * çünkü 50

b2 = (225) + (625) - (750) * 0,6427

b2 = (225) + (625) - (482.025)

b2 = 367,985

b = √367,985

b = 19,18 m.

Üç tarafın değerini zaten aldığınız için, bu üçgenin çevresini hesaplayın:

P = a tarafı + yan b + tarafı c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Şimdi Heron formülünü uygulayarak alanı belirlemek mümkündür, ancak önce semiperimetre hesaplanmalıdır:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m, 2

sp = 29,59 m.

Yanların ve semiperimetrenin ölçümleri Heron formülünde değiştirilmiştir:

Son olarak, alanı bilmek, c tarafındaki nispi yükseklik hesaplanabilir. Genel formülde, temizlemek gerekir:

Alan = (yan * h) ÷ 2

143,63 m2 = (25 m * h) ÷ 2

h = (2 * 143,63 m2÷ 25 m

h = 287,3 m2 ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Üçüncü egzersiz

ABC skalası üçgeninde b tarafı 40 cm, c tarafı 22 cm ölçmektedir ve A köşesinde, 90 açısı oluşur.veya. Bu üçgenin alanını hesapla.

çözüm

Bu durumda ABC skalen üçgeninin iki tarafının ölçümleri ve A tepe noktasında oluşan açı verilmiştir..

Alanı belirlemek için a tarafının ölçüsünü hesaplamak gerekmez, çünkü trigonometrik oranlar sayesinde açı onu bulmak için kullanılır.

Yüksekliğe zıt açı bilindiğinden, bu, bir taraftaki ürün ve açının sinüsü tarafından belirlenir..

Yapmanız gereken alanın formülündeki yerine geçme:

  • Alan = (yan * h) ÷ 2
  • h = c * sen A

Alan = (b * c * sen A) ÷ 2

Alan = (40 cm * 22 cm * sen 90) ÷ 2

Alan = (40 cm * 22 cm * 1) ÷ 2

Alan = 880 cm2 ÷ 2

Alan = 440 cm2.

referanslar

  1. Álvaro Rendón, A.R. (2004). Teknik Çizim: etkinlikler defteri.
  2. Ángel Ruiz, H.B. (2006). Geometriler. CR Teknolojisi, .
  3. Angel, A.R. (2007). İlköğretim Cebiri Pearson Eğitimi,.
  4. Baldor, A. (1941). Cebir. Havana: Kültür.
  5. Barbosa, J.L. (2006). Düz Öklid Geometrisi. Rio de Janeiro,.
  6. Coxeter, H. (1971). Geometrinin Temelleri Meksika: Limusa-Wiley.
  7. Daniel C. Alexander, G.M. (2014). Üniversite Öğrencileri için İlköğretim Geometri. Cengage Öğrenme.
  8. Harpe, P. d. (2000). Geometrik Grup Teorisinde Konular. Chicago Üniversitesi Basın.