Eşkenar üçgen özellikleri, özellikleri, formülleri ve alanı



bir eşkenar üçgen hepsinin eşit olduğu üç tarafı olan bir çokgen; yani, aynı ölçüme sahipler. Bu özellik için ona eşkenar (eşit taraf) adı verildi.

Üçgenler, geometride en basit sayılan poligonlardır, çünkü bunlar üç taraf, üç açı ve üç köşedir. Eşkenar üçgen durumunda, eşit kenarlara sahip olmak, üç açısının da olacağı anlamına gelir..

indeks

  • 1 Eşkenar üçgenlerin özellikleri
    • 1.1 Eşit taraflar
    • 1.2 Bileşenleri
  • 2 Özellikler
    • 2.1 İç Açıları
    • 2.2 Dış Açıları
    • 2.3 Tarafların toplamı
    • 2.4 Kongruent tarafları
    • 2.5 Eşlenik açılar
    • 2.6 Bisektör, medyan ve mediatrix çakışmaktadır
    • 2.7 Bisder ve yükseklik çakışmaktadır
    • 2.8 Ortocenter, barycenter, incenter ve circenter çakışıyor
  • 3 Çevre nasıl hesaplanır?
  • 4 Yükseklik nasıl hesaplanır?
  • 5 Tarafların hesaplanması?
  • 6 Alan nasıl hesaplanır?
  • 7 Alıştırmalar
    • 7.1 İlk egzersiz
    • 7.2 İkinci alıştırma
    • 7.3 Üçüncü alıştırma
  • 8 Kaynakça

Eşkenar üçgenlerin özellikleri

Eşit taraf

Eşkenar üçgenler, düz çizgiler üç bölümden oluşan düz ve kapalı rakamlardır. Üçgenler, yanlarına ve açılarına göre özelliklerine göre sınıflandırılır; Eşkenar, taraflarının ölçüsü bir parametre olarak kullanılarak sınıflandırılmıştır, çünkü bunlar tamamen aynıdır, yani uyumludurlar..

Eşkenar üçgen, ikizkenar üçgen için özel bir durumdur, çünkü iki tarafı uyumludur. Bu nedenle tüm eşkenar üçgenler de ikizkenardır, ancak bütün ikizkenar üçgenler eşkenar olmaz.

Bu şekilde, eşkenar üçgenler bir ikizkenar üçgeninin aynı özelliklerine sahiptir..

Eşkenar üçgenler, aynı açıda üç tarafı ve üç iç açıya sahip olan eşkenar açılı üçgen olarak iç açılarının genliği ile de sınıflandırılabilir. Açıları keskin olacak, yani 90'dan az olacakveya.

bileşenler

Genel olarak üçgenler, onu oluşturan birkaç çizgiye ve noktaya sahiptir. Alanı, kenarları, açıları, medyanı, bisektörü, dik ve yüksekliğini hesaplamak için kullanılırlar.

  • Ortanca: bir tarafın ortasından ayrılan ve karşı köşeye ulaşan bir çizgidir. Üç ortanca centroid veya centroid denilen bir noktada hemfikir.
  • Bisektör: Köşelerin açısını eşit büyüklükte iki açıya bölen bir ışındır, bu yüzden simetri ekseni olarak bilinir. Eşkenar üçgenin üç eksen simetrisi vardır.

Eşkenar üçgende, bisektör bir açının tepe noktasından karşı tarafına çekilerek orta noktasında kesilir. Bu konuda hemfikir denilen incentro.

  • Mediatrix: Bunun ortasında çıkan üçgenin kenarına dik olan bir segmenttir. Üçgenin içinde üç tane arabuluculuk var ve circuncentro adı verilen bir noktada aynı fikirde.
  • Yükseklik: tepe noktasından zıt tarafa giden çizgidir ve bu çizgi o tarafa diktir. Tüm üçgenlerin, ortokenter adı verilen bir noktada çakışan üç yüksekliği vardır..

özellikleri

Eşkenar üçgenlerin temel özelliği, her zaman ikizkenar üçgenler olacağıdır, çünkü ikizkenar iki uyumlu taraf ve eşkenar olanlar üçte iki oluşturulur.

Bu şekilde, eşkenar üçgenler ikizkenar üçgeninin tüm özelliklerini miras aldı:

İç açılar

İç açıların toplamı her zaman 180'e eşittirveya, ve tüm açıları uyumlu olduğu için, bunların her biri 60veya.

Dış açıları

Dış açıların toplamı her zaman 360'a eşit olacaktırveya, bu nedenle, her bir dış açı 120 ölçecektirveya. Bunun nedeni, iç ve dış açıların tamamlayıcı olmasıdır, yani, bunların eklenmesi her zaman 180'e eşit olacaktır.veya.

Tarafların toplamı

İki tarafın ölçülerinin toplamı her zaman üçüncü tarafın ölçüsünden daha büyük olmalıdır, yani a + b> c, burada a, b ve c her iki tarafın ölçüleridir..

Kongruent tarafları

Eşkenar üçgenlerin üç tarafı aynı ölçü ya da uzunlukla; yani, onlar uyumlu. Bu nedenle, önceki maddede a = b = c olur..

Kongruent açıları

Eşkenar üçgenler aynı zamanda üçgen üçgenler olarak da bilinir, çünkü üç iç açısı birbirleriyle uyumludur. Bunun nedeni, tüm taraflarının da aynı ölçülerde olmasıdır..

Bisektör, medyan ve mediatrix çakışıyor

Bisektör, bir üçgenin kenarını iki parçaya böler. Eşkenar üçgenlerde bu taraf iki tam olarak eşit parçaya bölünür, yani üçgen iki uyumlu sağ üçgene bölünür.

Böylece, bir eşkenar üçgenin herhangi bir açısından çekilen bisektör, medyan ve bu açının zıt tarafının bisektörü ile çakışır..

örnek:

Aşağıdaki şekil, ABC üçgenini, yanlarından birini AD ve BD'ye iki segmente ayıran bir D orta noktası ile göstermektedir..

D noktasından zıt tepe noktasına bir çizgi çizdiğinizde, tanım gereği, tepe C ve AB tarafına göre olan medyan CD’yi alırsınız..

CD segmenti ABC üçgenini CDB ve CDA'ya eşit iki üçgene böldüğü için, uyum durumu olacağımız anlamına gelir: yan, açı, taraf ve bu nedenle CD, ayrıca BCD'nin ikilisi olacak.

CD parçasını çizerken, köşe açısını iki eşit açıda 30'a bölünveya, köşe A'nın açısı 60 ölçmeye devam ediyorveya ve düz CD 90 derecelik bir açı oluştururveya D orta noktasına göre.

Segment CD, ADC ve BDC üçgenleri için aynı ölçüme sahip olan açıları oluşturur, yani, her birinin ölçümünün aşağıdaki şekilde olacağı şekilde tamamlayıcıdırlar:

Med (ADB) + Med (ADC) = 180veya

2 * Med. (ADC) = 180veya

Med. (ADC) = 180veya ÷ 2

Med. (ADC) = 90veya.

Ve böylece, CD segmentinin AB tarafının da iki parçasını oluşturduğunu anladınız..

Bisder ve yükseklik çakışıyor

Bisektörü bir açının tepe noktasından diğer tarafın orta noktasına çekerken, eşkenar üçgeni iki uyumlu üçgene böler.

Bu şekilde 90'lık bir açı oluşacak şekildeveya (Normal). Bu, bu çizgi segmentinin o tarafa tamamen dik olduğunu ve tanım gereği bu çizginin yükseklik olacağını gösterir..

Bu şekilde, bir eşkenar üçgenin herhangi bir açısının bisektörü bu açının karşı tarafında göreceli yüksekliğe denk gelir.

Ortocenter, barycenter, incenter ve circenter çakışıyor

Yükseklik, ortanca, bisektör ve bisektör aynı anda aynı segment tarafından temsil edildiğinden, eşkenar üçgende bu bölümlerin buluşma noktaları - ortosenter, barycenter, incenter ve çevre - aynı noktada olacaktır:

Çevre nasıl hesaplanır?

Bir çokgenin çevresi, kenarların toplamı ile hesaplanır. Bu durumda, eşkenar üçgenin her tarafı aynı ölçüde olduğundan, çevresi aşağıdaki formülle hesaplanır:

P = 3 * yan.

Yükseklik nasıl hesaplanır?

Yükseklik, tabana dik olan çizgi olduğundan, zıt tepe noktasına uzanarak onu iki eşit parçaya böler. Böylece iki eşit sağ üçgen oluşur.

Yükseklik (h) karşı tarafı (a) temsil eder, AC tarafının yarısı bitişik tarafa (b) ve BC tarafı ise hipotenusu (c) temsil eder..

Pisagor teoremini kullanarak, yüksekliğin değerini belirleyebilirsiniz:

için2 + b2= c2

burada:

için2 = yükseklik (saat).

b2 = b / 2 tarafı.

c2 = a tarafı.

Pisagor teoreminde bu değerleri değiştirmek ve sahip olduğumuz yüksekliği temizlemek:

h2 + ( l / 2)2 = l2

h2 +  l2/ 4 = l2

h2 = l2  -  l2/ 4

h2 = (4*l2 -  l2) / 4

h2 =  3*l2/4

√h2 = √ (3*l2/4)

Eş tarafların oluşturduğu açı biliniyorsa, yükseklik (bir bacak ile temsil edilir) trigonometrik oranlar uygulanarak hesaplanabilir.

Referans olarak alınan açıya bağlı olarak, bacaklar ters veya bitişik olarak adlandırılır..

Örneğin, önceki şekilde, kateter h, C açısının karşısına gelecek, ancak B açısına bitişik olacaktır:

Böylece, yükseklik ile hesaplanabilir:

Taraflar nasıl hesaplanır??

Üçgenin kenarlarının ölçümlerinin bilinmediği, ancak yüksekliklerinin ve köşelerinde oluşan açıların olduğu durumlar vardır..

Bu durumlarda alanı belirlemek için trigonometrik oranları uygulamak gerekir.

Bir köşesinin birinin açısını bilerek, bacaklar tanımlanır ve karşılık gelen trigonometrik oran kullanılır:

Bu nedenle, AB bacağı, C açısının karşısına gelecek, ancak A açısına bitişik olacaktır, yüksekliğe karşılık gelen tarafa veya ayağa bağlı olarak, diğer taraf, bunun bir eşkenar üçgenin içinde olduğunu bilerek, bunun değerini elde etmek için temizlenir taraf her zaman aynı boyuta sahip olacak.

Alan nasıl hesaplanır??

Üçgenin alanı her zaman aynı formülle hesaplanır, tabanın yüksekliği ile çarpılır ve ikiye bölünür:

Alan = (b * h) ÷ 2

Yüksekliğin formülle verildiğini bilmek:

eğitim

İlk egzersiz

Eşkenar üçgen ABC'nin kenarları her biri 20 cm ölçer. Bu çokgenin yüksekliğini ve alanını hesapla.

çözüm

Eşkenar üçgenin alanını belirlemek için, çizerken, üçgeni iki eşit sağ üçgene böldüğünü bilerek, yüksekliği hesaplamak gerekir..

Bu şekilde Pisagor teoremi onu bulmak için kullanılabilir:

için2 + b2= c2

burada:

a = 20/2 = 10 cm.

b = yükseklik.

c = 20 cm.

Teoremdeki veriler değiştirilir:

102 + b2 = 202

100 cm + b2 = 400 cm

b2 = (400 - 100) cm

b2 = 300cm

b = √300 cm

b = 17,32 cm.

Yani, üçgenin yüksekliği 17,32 cm'ye eşittir. Şimdi verilen üçgenin alanını formülde yer alarak hesaplamak mümkündür:

Alan = (b * h) ÷ 2

Alan = (20 cm * 17.32 cm) ÷ 2

Alan = 346,40 cm2 ÷ 2

Alan = 173.20 cm2.

Egzersizi çözmenin bir diğer basit yolu, verileri, alanın doğrudan formülündeki yerine koymaktır; burada yüksekliğin değeri de aynı şekildedir:

İkinci alıştırma

Eşkenar üçgen şeklinde bir arazide çiçekler dikilir. Bu alanın çevresi 450 m'ye eşitse, çiçeklerin kapladığı metrekare sayısını hesaplayın..

çözüm

Bir üçgenin çevresinin üç tarafının toplamına karşılık geldiğini ve arazinin eşkenar bir üçgen şeklinde olduğunu bildiğinden, bu üçgenin üç tarafı aynı ölçü veya uzunluğa sahip olacaktır:

P = yan + yan + yan = 3 * l

3 * l = 450 m.

l = 450 m ÷ 3

l = 150 m.

Şimdi sadece bu üçgenin yüksekliğini hesaplamak gerekli.

Yükseklik, üçgeni iki uyumlu sağ üçgene böler, burada bacaklardan biri yüksekliği ve tabanın diğer yarısını temsil eder. Pisagor teoremi ile yükseklik belirlenebilir:

için2 + b2= c2

burada:

için = 150 m ÷ 2 = 75 m.

c = 150 m.

b = yükseklik

Teoremdeki veriler değiştirilir:

(75 m)2+ b2 = (150 m)2

5,625 m + b2 = 22,500 m

b2 = 22,500 m - 5,625 m

b2 = 16,875 m

b = ,816,875 m

b = 129,90 m.

Böylece çiçekleri işgal edecek alan şöyle olacaktır:

Alan = b * s ÷ 2

Alan = (150 m * 129.9 m) ÷ 2

Alan = (19,485 m2) ÷ 2

Alan = 9,742,5 m2

Üçüncü egzersiz

Eşkenar ABC üçgeni, tepe noktasından (C) karşı tarafta (AB) bulunan orta nokta D'ye giden bir çizgi parçasına bölünür. Bu bölüm 62 metredir. Eşkenar üçgenin alanını ve çevresini hesaplayın.

çözüm

Eşkenar üçgenin yüksekliğe tekabül eden bir çizgi parçasına bölündüğünü ve böylece iki uygun sağ üçgen oluşturduğunu bilerek, bu sırasıyla tepe C'nin açısını aynı ölçü ile iki açıya böler, 30veya her biri.

Boy 90 derecelik bir açı oluştururveya AB segmentine ve A tepe noktasının açısına göre 60veya.

Sonra referans olarak 30 açısını kullanarakveya, Yükseklik CD'si açıya bitişik bir bacak, hipotenüs olarak BC.

Bu verilerden, trigonometrik oranlar kullanılarak üçgenin kenarlarından birinin değeri belirlenebilir:

Eşkenar üçgende olduğu gibi, bütün taraflar tam olarak aynı ölçüme veya uzunluğa sahiptir, bu da eşkenar üçgeninin her iki tarafının da 71,6 metreye eşit olduğu anlamına gelir. Bunu bilerek, bölgenizi belirlemek mümkündür:

Alan = b * s ÷ 2

Alan = (71,6 m * 62 m) ÷ 2

Alan = 4,438,6 m2 ÷ 2

Alan = 2,219,3 m2

Çevre üç tarafın toplamı ile verilmiştir:

P = yan + yan + yan = 3 * l

P = 3*l

P = 3 * 71,6 m

P = 214,8 m.

referanslar

  1. Álvaro Rendón, A.R. (2004). Teknik Çizim: etkinlikler defteri.
  2. Arthur Goodman, L. H. (1996). Analitik geometri ile cebir ve trigonometri. Pearson Eğitimi.
  3. Baldor, A. (1941). Cebir. Havana: Kültür.
  4. BARBOSA, J.L. (2006). Düz Öklid Geometrisi. SBM. Rio de Janeiro, .
  5. Coxford, A. (1971). Geometri Bir Dönüşüm Yaklaşımı. ABD: Laidlaw Kardeşler.
  6. Euclid, R.P. (1886). Öklid'in Geometri Elemanları.
  7. Héctor Trejo, J. S. (2006). Geometri ve Trigonometri.
  8. León Fernández, G.S. (2007). Entegre Geometri Metropolitan Teknoloji Enstitüsü.
  9. Sullivan, J. (2006). Cebir ve trigonometri Pearson Eğitimi.