Binom Teoremi Gösterimi ve Örnekler

binom teoremi bize formun bir ifadesini nasıl geliştireceğimizi söyleyen bir denklemdir (a + b)ⁿ bazı doğal sayılar için Bir binom, (a + b) gibi iki öğenin toplamından daha fazla değildir. Ayrıca bir terim için verilen bir terimi bilmemize izin verir.^kb^n-k onunla gelen katsayısı nedir.

Bu teorem genellikle İngiliz mucit, fizikçi ve matematikçi Sir Isaac Newton'a atfedilir; Bununla birlikte, Orta Doğu'da varlığının 1000 yıl boyunca biliniyor olduğunu gösteren birkaç kayıt bulundu..

indeks

• 1 kombinasyon numaraları
• 2 gösteri
• 3 Örnekler
  • 3.1 Kimlik 1
  • 3.2 Kimlik 2
• 4 Başka bir gösteri
  • 4.1 Tümevarımla gösteri
• 5 Meraklar
• 6 Kaynakça

Kombinatoryal sayılar

Binom teoremi bize matematiksel olarak şunları söyler:

Bu ifadede a ve b gerçek sayılardır ve n doğal bir sayıdır.

Gösteriyi vermeden önce, gerekli olan bazı temel kavramları görelim..

Kombinatoryal sayı veya k'nin n kombinasyonları aşağıdaki şekilde ifade edilir:

Bu form, bir n öğesi kümesinden k elemanı ile kaç tane alt kümenin seçilebileceğinin değerini ifade eder. Cebirsel ifadesi şöyle verilir:

Bir örnek görelim: farz edelim ki yedi topumuz var, bunlardan ikisi kırmızı, diğerleri mavi.

Onları arka arkaya kaç şekilde sıralayabileceğimizi bilmek istiyoruz. Bir yol, iki kırmızıyı birinci ve ikinci konumlara ve topların kalanını kalan konumlara yerleştirmek olabilir..

Önceki duruma benzer şekilde, kırmızı toplara sırasıyla ilk ve son konumu verebiliriz ve diğerlerini mavi toplarla meşgul edebilirdik..

Şimdi, topları arka arkaya ne kadar sipariş edebileceğimizi saymanın etkili bir yolu birleşimsel sayıları kullanıyor. Her konumu aşağıdaki kümenin bir öğesi olarak görebiliriz:

Daha sonra, sadece bu elementlerin her birinin kırmızı topların işgal edeceği pozisyonu temsil ettiği iki elementin alt kümesini seçmek gerekir. Bu seçimi aşağıdakiler tarafından verilen ilişkiye göre yapabiliriz:

Bu şekilde, bu gibi topları sıralamak için 21 yol var.

Bu örneğin genel fikri, binom teoreminin gösterilmesinde çok faydalı olacaktır. Belirli bir duruma bakalım: n = 4 ise, (a + b)⁴, ki bundan daha fazlası değil:

Bu ürünü geliştirdiğimizde, dört faktörden her birinin (a + b) öğelerini çarparak elde edilen terimlerin toplamına sahibiz. Böylece, formda olacak terimlerimiz olacaktır:

Form terimini almak istersek⁴, Sadece şu şekilde çarpın:

Bu öğeyi elde etmenin sadece bir yolu olduğuna dikkat edin; ama şimdi formun terimine bakarsak ne olur?²b²? "A" ve "b" gerçek sayılar olduğundan ve bu nedenle, değişmeli yasa geçerli olduğundan, bu terimi elde etmenin bir yolu var, oklarla gösterilen üyelerle çarpmak..

Tüm bu işlemleri yapmak genellikle biraz sıkıcıdır, ancak "a" terimini, dört faktörden oluşan iki "a" yöntemini kaç şekilde seçebileceğimizi bilmek istediğimiz bir kombinasyon olarak görürsek önceki örnek fikrini kullanabiliriz. Yani, aşağıdakilere sahibiz:

Yani, ifadenin son gelişiminde (a + b) olduğunu biliyoruz.⁴ biz tam olarak 6a olacak²b². Diğer unsurlar için aynı fikri kullanarak şunları yapmanız gerekir:

Sonra daha önce elde edilen ifadeleri ekleriz ve şunu yapmalıyız:

“N” nin herhangi bir doğal sayı olduğu genel durum için resmi bir gösteridir..

gösteri

Gelişmekte olan terimlerin (a + b) kaldığına dikkat edin.ⁿ biçimindedir^kb^n-k, buradaki k = 0,1, ..., n. Önceki örnek fikrini kullanarak, "n" faktöründen "k" değişkenlerini "a" seçme yöntemine sahibiz:

Bu şekilde seçerek, n-k değişkenlerini "b" otomatik olarak seçiyoruz. Bundan itibaren şöyle:

Örnekler

Göz önüne alındığında (a + b)⁵, Gelişimi ne olurdu?

Binom teoremi ile yapmamız gereken:

Binom teoremi, tam bir geliştirme yapmak zorunda kalmadan belirli bir terimin katsayısının ne olduğunu bilmek istediğimiz bir ifademiz varsa çok faydalıdır. Örnek olarak şu soruyu cevaplayabiliriz: x'in katsayısı nedir⁷ve⁹ gelişiminde (x + y)¹⁶?

Binom teoremi sayesinde, katsayı şu şekildedir:

Başka bir örnek şöyle olabilir: x'in katsayısı nedir⁵ve⁸ gelişiminde (3x-7y)¹³?

İlk önce ifadeyi uygun bir şekilde yeniden yazarız; bu:

Sonra, binom teoremini kullanarak, istenen katsayının k = 5 olduğunda

Bu teoremin kullanımlarına bir başka örnek, aşağıda belirtilenler gibi bazı ortak kimliklerin gösterilmesidir..

Kimlik 1

"N" doğal bir sayı ise, şunları yapmalıyız:

Gösteri için, hem "a" hem de "b" nin 1 değerini aldığı binom teoremini kullanıyoruz. Sonra:

Bu şekilde ilk kimliği kanıtladık.

Kimlik 2

"N" doğal bir sayıysa, o zaman

Binom teoremi ile yapmamız gereken:

Başka bir gösteri

"N" ve "k" nin n meet k'yi karşılayan pozitif tamsayılar olduğunu bize söyleyen endüktif yöntemi ve paskal kimliği kullanarak binom teoremi için farklı bir gösteri yapabiliriz.

İndüksiyon ile gösteri

İlk önce endüktif tabanın yerine getirildiğini görelim. N = 1 ise, şunları yapmalıyız:

Aslında, bunun gerçekleştiğini görüyoruz. Şimdi, n = j'nin yerine getirilmesini sağlayın:

N = j + 1 için bunun yerine getirildiğini görmek istiyoruz:

Yani, biz zorundayız:

Hipotezle şunu biliyoruz:

Ardından, dağıtım özelliğini kullanarak:

Daha sonra, sahip olduğumuz toplamların her birini geliştirmek:

Şimdi, uygun bir şekilde birlikte gruplanırsak, şunları yapmalıyız:

Pascal kimliğini kullanarak şunları yapmalıyız:

Son olarak, şunu unutmayın:

Dolayısıyla binom teoreminin doğal sayıya ait tüm "n" ler için yerine getirildiğini görüyoruz ve bununla test sona eriyor.

Meraklısına

Kombinatoryal sayıya (nk) binom katsayısı da denir, çünkü tam olarak binom (a + b) 'nin gelişiminde görünen katsayısıdır.ⁿ.

Isaac Newton, üssünün gerçek bir sayı olduğu durum için bu teorinin genellemesini verdi; Bu teorem Newton'un binom teoremi olarak bilinir..

Zaten antik dönemde bu sonuç n = 2 olan özel durum için bilinmekteydi. Bu durumda elementler Öklidlerin.

referanslar

1. Johnsonbaugh Richard. Ayrık Matematik PHH
2. Kenneth.H. Rosen, Kesikli Matematik ve Uygulamaları. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Seymour Lipschutz Doktora ve Marc Lipson. Ayrık Matematik McGraw-Hill.
4. Ralph P. Grimaldi. Ayrık ve Birleştirici Matematik. Addison-Wesley Iberoamericana
5. Verde Yıldızı Luis ... Ayrık Matematik ve Combinatoria.Anthropos