Varignon Teoremi Örnekleri ve Çözülmüş Alıştırmalar



Varignon teoremi Herhangi bir dörtgende herhangi bir noktanın sürekli olarak kenarlara birleştirilmesi durumunda, bir paralelkenarın üretildiğini belirler. Bu teorem Pierre Varignon tarafından formüle edildi ve 1731 yılında kitapta yayınlandı. Matematiğin Elemanları".

Kitabın basımı ölümünden yıllar sonra gerçekleşti. Bu teoremi sunan kişi Varignon olduğundan, paralelkenar ondan sonra adlandırılır. Teorem Öklid geometrisine dayanır ve dörtgenlerin geometrik ilişkilerini sunar.

indeks

  • 1 Varignon teoremi nedir??
  • 2 Örnekler
    • 2.1 İlk örnek
    • 2.2 İkinci örnek
  • 3 Egzersiz çözüldü
    • 3.1 Egzersiz 1
    • 3.2 Egzersiz 2
    • 3.3 Alıştırma 3
  • 4 Kaynakça

Varignon teoremi nedir??

Varignon, bir quadrilateralin orta noktalarıyla tanımlanan bir rakamın her zaman bir paralelkenarla sonuçlanacağını ve bunun alanının düz ve dışbükey olması durumunda her zaman kuadrilateral alanının yarısı olacağını iddia etti. Örneğin:

Şekilde, tarafların orta noktalarının E, F, G ve H ile temsil edildiği ve bir araya geldiklerinde bir paralelkenar oluşturduğu X alanlı bir dörtgen görebiliyoruz. Dörtgen alan, oluşan üçgen alanlarının toplamı olacaktır ve bunun yarısı paralelkenarın alanına karşılık gelir..

Paralelkenarın alanı dörtgen alanın yarısı kadar olduğu için, bu paralelkenarın çevresi belirlenebilir..

Böylece, çevre dörtgen köşegenlerin uzunluklarının toplamına eşittir; Bunun nedeni, dörtgenliğin medyanının paralelkenarın köşegenleri olacağıdır..

Öte yandan, dörtgenlerin köşegenlerinin uzunlukları tamamen aynıysa, paralelkenar pırlanta olacaktır. Örneğin:

Şekilden, dört kenarın orta noktalarına katılarak bir eşkenar dörtgeninin elde edildiği görülebilir. Öte yandan, dörtgenlerin köşegenleri dik ise, paralelkenar dikdörtgen şeklinde olacaktır..

Ayrıca, paralelkenar, dörtgenler aynı uzunluktaki köşegenlere sahipken bir kare olacaktır ve ayrıca dik.

Teorem sadece düz dörtgenlerde yerine getirilmez, aynı zamanda uzaysal geometride veya büyük boyutlarda da uygulanır; yani, dışbükey olmayan dörtgenlerde. Buna bir örnek, orta noktaların her bir yüzün centroidleri olduğu ve bir paralel yüz oluşturduğu bir oktahedron olabilir..

Bu şekilde, farklı şekillerin orta noktalarına katılarak paralelkenarlar elde edilebilir. Bunun gerçekten doğru olup olmadığını doğrulamanın basit bir yolu, karşı tarafların uzatıldıklarında paralel olması gerektiğidir..

Örnekler

İlk örnek

Bunun bir paralelkenar olduğunu göstermek için karşı tarafın uzatılması:

İkinci örnek

Bir pırlantanın orta noktalarına katılarak bir dikdörtgen elde ederiz:

Teorem, dörtgen kenarların ortasında yer alan noktaların birleşiminde kullanılır ve ayrıca bir üçlü, penta-bölüm veya hatta sonsuz sayıda bölüm gibi diğer türler için de kullanılabilir ( nth), herhangi bir dörtgen tarafın taraflarını orantılı olan bölümlere ayırmak için.

Çözülmüş egzersizler

Egzersiz 1

Şekilde, bu tarafların orta noktalarının PQSR olduğu Z alanının dörtgen bir ABCD'sine sahibiz. Bir Paralelkenar Varignon oluşumu olup olmadığını kontrol edin..

çözüm

PQSR puanlarına katılırken Varignon'un bir paralelkenarının oluştuğu, kesin olarak bir dörtgenin orta noktaları verildiği doğrulanabilir.

Bunu göstermek için, PQSR orta noktaları birleştirilmiştir, bu nedenle başka bir dörtgen oluştuğu görülebilir. Bunun bir paralelkenar olduğunu göstermek için, sadece C noktasından A noktasına düz bir çizgi çizmeniz gerekir, böylece CA'nın PQ ve RS'ye paralel olduğunu görebilirsiniz..

Benzer şekilde, PQRS taraflarını genişleterek, aşağıdaki resimde gösterildiği gibi PQ ve RS'nin paralel olduğu not edilebilir:

Egzersiz 2

Tüm kenarlarının uzunluklarının eşit olacağı bir dikdörtgene sahiptir. Bu tarafların orta noktalarına katılırken, dikdörtgenin kenarlarının ölçümleriyle çakışan iki çapraz AC = 7 cm ve BD = 10 cm şeklinde bölünmüş bir eşkenar dörtgen ABCD oluşur. Elmas ve dikdörtgen alanlarını belirleme.

çözüm

Elde edilen paralelkenarın alanının dörtgenin yarısı olduğunu hatırlayarak, bu köşegenlerin ölçüsünün dikdörtgenin kenarlarıyla çakıştığını bilerek alanını belirleyebilirsiniz. Yani yapmak zorundasın:

AB = D

CD = d

birdikdörtgen = (AB * CD) = (10 cm * 7 cm) = 70 cm2

bireşkenar dörtgen = A dikdörtgen / 2

bireşkenar dörtgen = 70 cm2 / 2 = 35 cm2

Egzersiz 3

Şekilde EFGH puanlarının birliği olan bir dörtgen var, segmentlerin uzunlukları verilmiştir. EFGH birliğinin bir paralelkenar olup olmadığını belirleyin..

AB = 2.4 CG = 3.06

EB = 1.75 GD = 2.24

BF = 2.88 DH = 2.02

FC = 3.94 HA = 2.77

çözüm

Segmentlerin uzunlukları göz önüne alındığında, segmentler arasında orantılılık olup olmadığını doğrulamak mümkündür; Diğer bir deyişle, dörtgenin bölümlerini şu şekilde ilişkilendirerek bunların paralel olup olmadığını biliyoruz:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2.77 / 2.02 = 1.37

- CF / FB = 3.94 / 2.88 = 1.37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Daha sonra orantılılık kontrol edilir, çünkü:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Benzer şekilde, B noktasından D noktasına bir çizgi çizerken, BD'nin FG'ye paralel olduğu gibi EH'nin BD'ye paralel olduğunu görebiliriz. Öte yandan, EF, GH'ye paraleldir.

Bu şekilde, EFGH'nin bir paralelkenar olduğu tespit edilebilir, çünkü karşı tarafların paralel olduğu.

referanslar

  1. Andres, T. (2010). Matematiksel Olimpiyat Tresure. kemer ayağı. New York.
  2. Barbosa, J.L. (2006). Düz Öklid Geometrisi. SBM. Rio de Janeiro.
  3. Howar, E. (1969). Geometrilerin Çalışması. Meksika: İspanyol - Amerikan.
  4. Ramo, G.P. (1998). Fermat-Torricelli problemlerine bilinmeyen çözümler. ISBN - Bağımsız çalışma.
  5. Vera, F. (1943). Geometri Elemanları. Bogota.
  6. Villiers, M. (1996). Öklid Geometrisinde Bazı Maceralar. Güney afrika.