Milet Thales Teoremi Birinci, İkinci ve Örnekler



Birinci ve ikinci Milet Thales Teoremi diğer benzerlerinden (birinci teorem) veya çevrelerden (ikinci teorem) üçgenleri belirlemeye dayanırlar. Çeşitli alanlarda çok faydalı oldular. Örneğin, ilk teorem, karmaşık ölçüm cihazları olmadığında büyük yapıları ölçmek için çok faydalı oldu..

Milet'in Thales'ı, bu iki teoremin (bazı metinlerde Thales olarak da yazdıkları) ve faydalı uygulamalarının öne çıktığı geometriye büyük katkılar sağlayan bir Rum matematikçiydi. Bu sonuçlar tarih boyunca kullanılmış ve çok çeşitli geometrik problemlerin çözülmesine izin vermiştir..

indeks

  • 1 İlk Masallar Teoremi
    • 1.1 Uygulama
    • 1.2 Örnekler
  • 2 İkinci Masallar Teoremi
    • 2.1 uygulama
    • 2.2 Örnek
  • 3 Kaynakça

Masalların ilk teoremi

Masalların ilk teoremi, diğer şeylerin yanı sıra, daha önce bilinen bir diğerine benzer bir üçgen inşa etmeyi sağlayan çok kullanışlı bir araçtır. Buradan, çoklu bağlamda uygulanabilen teoremin çeşitli versiyonlarını türetiniz..

İfadenizi vermeden önce, benzerlikteki bazı üçgenleri hatırlayın. Temel olarak, eğer açıları uyumlu ise iki üçgen benzerdir (aynı ölçüme sahiptirler). Bu, eğer iki üçgen benzerse, karşılık gelen taraflarının (veya homologlarının) orantılı olması gerçeğine yol açar..

Thales'in ilk teoremi, verilen bir üçgende, herhangi bir tarafına paralel olarak düz bir çizgi çizildiğinde, elde edilen yeni üçgenin, ilk üçgene benzer olacağını belirtir..

Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi oluşan açılar arasında da bir ilişki vardır..

uygulama

Çoklu uygulamaları arasında özel bir ilgi alanı göze çarpıyor ve antik çağda, Thales'ın yaşadığı ve modern ölçüm cihazlarının bulunmadığı zamanlarda büyük yapılardaki ölçümlerin yapılma yöntemlerinden biri ile ilgili. şimdi varlar.

Thales’in Mısır’daki en yüksek piramidi ölçmeyi başardığı söyleniyor, Cheops. Bunun için Thales, güneş ışınlarının yansımasının yere paralel çizgiler oluşturan yere değdiğini düşündü. Bu varsayım altında, toprağa dikey olarak bir çubuk veya baston sapladı.

Daha sonra, biri piramidin gölgesinin uzunluğu (kolayca hesaplanabilir) ve piramidin yüksekliği (bilinmeyen) ve diğeri gölgenin uzunlukları tarafından oluşturulan iki üçgenin benzerliğini kullandı. ve çubuğun yüksekliği (ayrıca kolayca hesaplanabilir).

Bu uzunluklar arasındaki orantılılığı kullanarak, piramidin yüksekliğini temizleyebilir ve bilirsiniz.

Her ne kadar bu ölçüm yöntemi, yüksekliğin doğruluğuna bağlı olarak önemli bir yaklaşım hatası verebilse ve güneş ışınlarının paralelliğine bağlı (ki bu da kesin bir zamana bağlıdır), bunun çok zekice bir fikir olduğunu kabul etmeliyiz. ve bu zaman için iyi bir ölçüm alternatifi sağladı.

Örnekler

Her durumda x'in değerini bulun:

çözüm

Burada iki paralel çizgiyle kesilmiş iki çizgimiz var. İlk Thales Teoremi'ne göre, kendi taraflarının orantılı olduğu söylenir. Özellikle:

çözüm

Burada, bunlardan biri diğerinin yanlarından birine paralel bir parçadan oluşan (tam olarak uzunluk x tarafı) iki üçgenimiz var. Tales'in ilk teoremine göre:

İkinci Masallar Teoremi

Thales'in ikinci teoremi, aynı olan her bir noktadaki çevreye yazılan bir dik üçgeni belirler..

Bir çevreye yazılan bir üçgen, köşeleri çevrede olan ve bu nedenle içinde bulunan bir üçgendir..

Spesifik olarak, Thales'in ikinci teoremi aşağıdakileri belirtir: bir merkez O ve çap AC olan bir daire verildiğinde, çevrenin her bir B noktası (A ve C dışında) dik açılı bir ABC ABC üçgenini belirler.

Gerekçe olarak, hem OA hem de OB ve OC'nin çevrenin yarıçapına karşılık geldiğine dikkat edin; bu nedenle, onların ölçümleri aynıdır. Oradan OAB ve OCB üçgenlerinin ikizkenar olduğu, ki buradaki

Bir üçgenin açılarının toplamının 180º'ye eşit olduğu bilinmektedir. Bunu ABC üçgeni ile kullanmak zorundasınız:

2b + 2a = 180º.

Aynı şekilde, biz b + a = 90º ve b + a = var.

Thales ikinci teoreminin sağladığı üçgenin, hipotenüsü çevresinin çapına eşit olduğu kesin olduğunu unutmayın. Bu nedenle, tamamen üçgenin noktalarını içeren yarım daire tarafından belirlenir; bu durumda, üst yarım daire.

Ayrıca Thales ikinci teoremi ile elde edilen dik üçgende hipotenüsün OA ve OC (yarıçapı) ile iki eşit parçaya bölündüğünü unutmayın. Sırayla, bu ölçü B üçgeninin ortancasına karşılık gelen OB segmentine (yarıçapı) eşittir..

Başka bir deyişle, B köşesine karşılık gelen ABC sağ üçgeninin ortanca uzunluğu hipotenüsün yarısı ile tamamen belirlenir. Üçgenin medyanının köşelerden birinden diğer tarafın orta noktasına kadar olan bir kesim olduğunu hatırlayın; Bu durumda, BO segmenti.

Sınırlı çevre

Thales'in ikinci teoremini görmenin bir başka yolu, dik bir üçgene çevrilmiş bir daireden geçer.

Genel olarak, bir poligonun çevresine dolanmış bir daire, her ne zaman izini sürmek mümkün olursa, her bir köşesinden geçen çevreden oluşur..

Sağ bir üçgen verilen ikinci Thales teoremini kullanarak, hipotenüsün ve çevresinin (çevrenin merkezi) hipotenüsün orta noktasına eşit yarıçapına eşit yarıçaplı, her zaman buna sınırlandırılmış bir daire oluşturabiliriz..

uygulama

Tales'in ikinci teoreminin ve belki de en çok kullanılanının çok önemli bir uygulaması, bunun dışında bir P noktası ile verilen bir çevreye teğet çizgileri bulmaktır (bilinen).

Bir çevre (aşağıdaki şekilde mavi renkle çizilen) ve bir dış nokta P verildiğinde, P'den geçen çevreye teğet iki çizgi olduğunu göz önünde bulundurun. T ve T 'teğet noktaları, çevrenin yarıçapı ve Veya merkez.

Bir dairenin merkezinden onun bir teğet noktasına kadar giden segmentin bu teğet çizgiye dik olduğu bilinmektedir. Ardından, OTP açısı düz.

Thales'in ilk teoreminde ve farklı versiyonlarında daha önce gördüğümüzden, OTP üçgenini başka bir çevrede (kırmızı) yazmanın mümkün olduğunu görüyoruz..

Benzer şekilde, OT'P üçgenin önceki aynı çevrede yazılı olabileceği elde edilir..

İkinci Thales teoremi ile, aynı zamanda bu yeni çevrenin çapının tam olarak OTP üçgeninin hipotenüsü olduğunu (OT'P üçgeninin hipotenüsüne eşittir) ve merkezin bu hipotenüsün orta noktası olduğunu anlıyoruz..

Yeni çevrenin merkezini hesaplamak için, başlangıçtaki çevrenin (yani bildiğimiz) merkez ile M - orta noktası arasındaki P noktasını (bildiğimiz) hesaplamak yeterlidir. Daha sonra yarıçap, bu nokta M ve P arasındaki mesafe olacaktır..

Yarıçapı ve kırmızı dairenin merkezi ile, (x-h) tarafından verilen hatırladığımız Kartezyen denklemini bulabiliriz.2 + (E-k)2 = c2, c yarıçap ve c (h, k) dairenin merkezidir.

Şimdi her iki çevrenin denklemlerini bilerek, bunlar tarafından oluşturulan denklem sistemini çözerek ve böylece T ve T 'teğetlik noktalarını elde ederek onları kesişebiliriz. Son olarak, istenen teğet çizgileri bilmek, T ve P'den ve T 've P'den geçen düz çizgilerin denklemini bulmak için yeterlidir..

örnek

AC, orta O ve yarıçapı 1 cm çapında bir çevre düşünün. B, çevrede AB = AC olacak şekilde bir nokta olsun. AB ne kadar ölçüyor??

çözüm

İkinci Thales teoremi ile ABC üçgeninin bir dikdörtgen olduğu ve hipotenüsün bu durumda 2 cm (yarıçapı 1 cm) olan çapa karşılık geldiği sonucuna vardık. Sonra Pisagor teoremi ile yapmamız gereken:

referanslar

  1. Ana Lira, P.J. (2006). Geometri ve Trigonometri. Zapopan, Jalisco: Eşik Basımları.
  2. Goodman, A., ve Hirsch, L. (1996). Analitik geometri ile cebir ve trigonometri. Pearson Eğitimi.
  3. Gutiérrez, Á. Á. (2004). E.S.O'da matematik metodolojisi ve uygulamaları. Milli Eğitim Bakanlığı.
  4. Iger. (2014). Matematik İkinci Dönem Zaculeu. Guatemala: IGER.
  5. José Jiménez, L. J. (2006). Matematik 2. Zapopan, Jalisco: Eşik Basımları.
  6. M., S. (1997). Trigonometri ve Analitik Geometri. Pearson Eğitimi.
  7. Pérez, M.A. (2009). Bir Matematik Tarihi: Karakterleri Üzerindeki Zorluklar ve Fetihler. Editoryal Vizyon Kitapları.
  8. Viloria, N., ve Leal, J. (2005). Düz Analitik Geometri. Venezuelalı Editör C. A.