Moivre'nin Neyi, Gösteri ve Çözünen Egzersizler Üzerine Teoremi

Moivre teoremi Kuvvetler ve karmaşık sayılardaki köklerin çıkarılması gibi temel cebir süreçlerini uygular. Teorem, karmaşık sayıları trigonometri ile ilişkilendiren ünlü Fransız matematikçi Abraham de Moivre (1730) tarafından duyuruldu..

Abraham Moivre bu ilişkiyi meme ve kosinüs ifadeleriyle yaptı. Bu matematikçi, bir n sayısını iktidara yükseltmek mümkün olan, 1'e eşit veya 1'den büyük pozitif bir tamsayı olan bir formül üretti..

indeks

• 1 Moivre teoremi nedir??
• 2 gösteri
  • 2.1 Endüktif taban
  • 2.2 Endüktif hipotez
  • 2.3 kontrol
  • 2.4 Negatif tamsayı
• 3 Egzersiz çözüldü
  • 3.1 Pozitif güçlerin hesaplanması
  • 3.2 Olumsuz güçlerin hesaplanması
• 4 Kaynakça

Moivre teoremi nedir??

Moivre teoremi aşağıdakileri belirtir:

Kutupsal formda karmaşık bir numaranız varsa z = r_ɵ, burada r z karmaşık sayının modülüdür ve açı Ɵ, 0 power Ɵ ≤ 2π olan herhangi bir karmaşık sayının amplitüdü veya argümanı olarak adlandırılır, nt gücünü hesaplamak için n çarpımı yapması gerekmez; yani, aşağıdaki ürünü yapmak gerekli değildir:

Zⁿ = z _* z _* z_{* ... *} z = r_{Ɵ *} r_{Ɵ *} r_{Ɵ * ... *} r_ɵ   n-kere.

Aksine, teorem, z'yi trigonometrik formunda yazarken, nt gücünü hesaplamak için şu şekilde ilerlediğimizi söylüyor:

Eğer z = r ise (cos Ɵ + i _* günah Ɵ) sonra zⁿ = rⁿ (çünkü n * Ɵ + i _* günah n * Ɵ).

Örneğin, n = 2 ise, z² = r²[cos 2 (Ɵ) + i günah 2 (sin)]. Eğer n = 3 varsa, o zaman z³ = z² _* z. Ek olarak:

z³ = r²[cos 2 (Ɵ) + günah 2 (Ɵ)] _* r [cos 2 (Ɵ) + günah 2 (Ɵ)] = r³[cos 3 (Ɵ) + günah 3 (Ɵ)].

Bu şekilde, sinüs ve kosininin trigonometrik oranları, açının trigonometrik oranları bilindiği sürece bir açının katları için elde edilebilir..

Aynı şekilde, karmaşık bir z sayısının nt kökü için daha kesin ve daha az kafa karıştırıcı ifadeler bulmak için kullanılabilir.ⁿ = 1.

Moivre teoremini göstermek için, matematiksel indüksiyon prensibi kullanılır: "a" tamsayısının "P" özelliğine sahip olması ve "n" tamsayı için "a" karakterinden "P" büyüklüğüne sahip olması durumunda, n + 1'in ayrıca "P" özelliğine sahip olduğunu, ardından "a" ya eşit veya daha büyük tüm tam sayıların "P" özelliğine sahip olduğunu sağlar.

gösteri

Bu şekilde, teorem ispatı aşağıdaki adımlarla yapılır:

Endüktif baz

N = 1 için ilk kontrol.

Z gibi¹ = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))¹ = r¹ (çünkü Ɵ + i _* sen Ɵ)¹ = r¹ [cos (1_* Ɵ) + i _* sen (1)_* Ɵ)], n = 1 için teoremin yerine getirildiğini biliyoruz..

Endüktif hipotez

Formülün bazı pozitif tamsayılar için doğru olduğu, yani n = k olduğu varsayılır..

z^k = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^k  = r^k (çünkü k Ɵ + i _* sen k Ɵ).

test

N = k + 1 için doğru olduğu kanıtlandı.

Z gibi^{k + 1}= z^k _* z, sonra z^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^{k + 1} = r^k (çünkü kƟ + i _* sen kƟ) _*  r (cos Ɵ + i_* senƟ).

Ardından ifadeler çoğalır:

z^{k + 1} = r^{k + 1}((çünkü k cos)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(i_*senƟ) + (ı _* sen kƟ)_*(cosƟ) + (i _* sen kƟ)_*(i_* senƟ)).

Bir an için r faktörü göz ardı edilir^{k + 1},  ve ortak faktör i kaldırılır:

(çünkü kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) + i²(sen kƟ)_*(SenƟ).

Nasıl yaparım² = -1, ifadenin yerine onu koyarız ve şunu alırız:

(çünkü kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(SenƟ).

Şimdi gerçek ve hayali kısım sıralandı:

(çünkü kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(sinƟ) + i [(sen kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(SenƟ)].

İfadeyi basitleştirmek için, kosinüs ve sinüs için açıların trigonometrik kimlikleri uygulanır, bunlar:

cos (A + B) = cos A _* çünkü B - sen A _* sen B.

sen (A + B) = günah A _* çünkü B - çünkü A _* çünkü B.

Bu durumda değişkenler Ɵ ve kƟ açılarıdır. Trigonometrik kimlikleri kullanarak, biz var:

çünkü kƟ _* cosƟ -  sen kƟ _* senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sen kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* senƟ = sen (kƟ + Ɵ)

Bu şekilde, ifade kalır:

z^{k + 1} = r^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sen (kƟ + Ɵ))

z^{k + 1} = r^{k + 1}(cos [(k + 1) Ɵ] + i _* sen [(k + 1) Ɵ]).

Böylece sonucun n = k + 1 için doğru olduğu gösterilebilir. Matematiksel indüksiyon prensibi ile, sonucun tüm pozitif tamsayılar için doğru olduğu sonucuna varılmıştır; yani, n ≥ 1.

Tamsayı negatif

Moivre teoremi n ≤ 0 olduğunda da uygulanır. "N" negatif bir tamsayı düşünün; sonra "n", "m", yani n = -m olarak yazılabilir, burada "m" pozitif bir tamsayıdır. Bu nedenle:

(çünkü Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^-m

"M" üssünü olumlu şekilde elde etmek için, ifade ters olarak yazılmıştır:

(çünkü Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^m

(çünkü Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (çünkü mƟ + i _* sen mƟ)

Şimdi, eğer z = a + b * i karmaşık bir sayı ise, o zaman 1 ÷ z = a-b * i kullanılır. Bu nedenle:

(çünkü Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (mƟ) - ı _* sen (mƟ).

Cos (x) = cos (-x) ve o -sen (x) = sin (-x) kullanarak şunları yapmalıyız:

(çünkü Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = [cos (mƟ) - ı _* sen (mƟ)]

(çünkü Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sen (-mƟ)

(çünkü Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (nƟ) - ı _* sen (nƟ).

Bu şekilde, teoremin "n" nin tüm tamsayı değerlerine uygulandığını söyleyebiliriz..

Çözülmüş egzersizler

Pozitif güçlerin hesaplanması

Kutup şeklinde karmaşık sayılarla yapılan işlemlerden biri, ikisi arasında çarpmadır; Bu durumda modüller çarpılır ve argümanlar eklenir..

İki karmaşık sayınız varsa, z₁ ve z₂ ve hesaplamak istiyorsun (z₁* z₂)², Sonra aşağıdaki gibi ilerleriz:

z₁z₂ = [r₁ (çünkü Ɵ₁ + ben _* sen Ɵ₁)] * [r₂ (çünkü Ɵ₂ + ben _* sen Ɵ₂)]

Dağıtım özelliği uygulanır:

z₁z₂ = r₁ r₂ (çünkü Ɵ_{1 *} çünkü Ɵ₂ + ben _* çünkü Ɵ_{1 *} ben _* sen Ɵ₂ + ben _* sen Ɵ_{1 *} çünkü Ɵ₂ + ben²_* sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂).

"İ" terimini ortak ifadeler faktörü olarak alarak gruplandırılmışlardır:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_{1 *} çünkü Ɵ₂ + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} çünkü Ɵ₂) + i²_* sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂]

Nasıl yaparım² = -1, ifadede değiştirildi:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_{1 *} çünkü Ɵ₂ + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} çünkü Ɵ₂) - sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂]

Gerçek terimler, gerçek ve yeniden hayali ile yeniden birleşir:

z₁z₂ = r₁ r₂ [(cos Ɵ_{1 *} çünkü Ɵ₂ - sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂) + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} çünkü Ɵ₂)]

Son olarak, trigonometrik özellikler uygulanır:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + ɵ₂) + ı sen (Ɵ₁ + ɵ₂)].

Sonuç olarak:

(z₁* z₂)²= (r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + ɵ₂) + ı sen (Ɵ₁ + ɵ₂)])²

= R₁²r₂²[çünkü 2 * (Ɵ₁ + ɵ₂) + sen 2 * (Ɵ₁ + ɵ₂)].

Egzersiz 1

Eğer karmaşık sayıyı z = - 2 - 2i ise kutupsal forma yazınız. Sonra, Moivre teoremini kullanarak, z'yi hesaplayın.⁴.

çözüm

Karmaşık sayı z = -2-2i, z = a + bi dikdörtgen biçiminde ifade edilir, burada:

a = -2.

b = -2.

Kutupsal formun z = r olduğunu bilmek (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), "r" modülünün değerini ve "Ɵ" argümanının değerini belirlemeniz gerekir. R = √ (a² + b²) olarak verilen değerler değiştirilir:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Daha sonra, "Ɵ" değerini belirlemek için, formül ile verilen, bunun dikdörtgen şekli uygulanır:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Bronzluk olarak (Ɵ) = 1 ve<0, entonces se tiene que:

Ɵ = arktan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

"R" ve "Ɵ" değerleri zaten elde edildiğinden, z = -2 -2i karmaşık sayısı, değerleri değiştirerek kutupsal formda ifade edilebilir:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4)).

Şimdi Moivre teoremi z'nin hesaplanmasında kullanılmıştır.⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4))⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sen (5Π)).

Egzersiz 2

Karmaşık sayıların çarpımını kutupsal biçiminde ifade ederek bulun:

z1 = 4 (cos 50^veya + ben_* 50 sen^veya)

z2 = 7 (cos 100^veya + ben_* 100 sen^veya).

Ardından, (z1 * z2) ² hesaplayın.

çözüm

İlk önce verilen sayıların ürünü oluşturulmuştur:

z₁ z₂ = [4 (cos 50^veya + ben_* 50 sen^veya)] * [7 (cos 100^veya + ben_* 100 sen^veya)]

Ardından modülleri birlikte çarpın ve argümanları ekleyin:

z₁ z₂ = (4 _* 7)_* [cos (50^veya + 100^veya) + i_* sen (50^veya + 100^veya)]

İfade basitleştirildi:

z₁ z₂ = 28 _* (cos 150^veya + (i_* 150 sen^veya).

Son olarak, Moivre teoremi uygulanır:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150^veya + (i_* 150 sen^veya)) ² = 784 (cos 300)^veya + (i_* 300 sen^veya)).

Negatif güçlerin hesaplanması

İki karmaşık sayıyı bölmek için z₁ ve z₂ kutupsal formunda modül bölünür ve argümanlar çıkarılır. Böylece, bölüm z₁ ÷ z₂ ve şöyle ifade edilir:

z₁ ÷ z₂ = r1 / r2 ([cos (Ɵ)₁- ɵ₂) + ı sen (Ɵ₁ - ɵ₂)]).

Önceki durumda olduğu gibi, (z1 ÷ z2) ³ 'ı hesaplamak istiyorsanız, önce bölme yapılır, sonra Moivre teoremi kullanılır..

Egzersiz 3

verilen:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

hesapla (z1 ÷ z2) ³.

çözüm

Yukarıda açıklanan adımların ardından, şu sonuçlara varılabilir:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * günah (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * günah (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * günah (3π / 2)).

referanslar

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Analitik geometri ile cebir ve trigonometri. Pearson Eğitimi.
2. Croucher, M. (s.f.). Moivre'nin Trig Kimlikler Teoreminden. Wolfram Gösterileri Projesi.
3. Hazewinkel, M. (2001). Matematik Ansiklopedisi.
4. Max Peters, W.L. (1972). Cebir ve Trigonometri.
5. Pérez, C.D. (2010). Pearson Eğitimi.
6. Stanley, G. (s.f.). Doğrusal cebir Graw-Tepesi.
7. , M. (1997). Precalculus. Pearson Eğitimi.