Vektör Cebiri Temelleri, Büyüklükler, Vektörler



vektör cebiri Lineer denklem sistemlerini, vektörleri, matrisleri, vektör uzaylarını ve lineer dönüşümlerini incelemekten sorumlu bir matematik dalıdır. Mühendislik, diferansiyel denklem çözme, fonksiyonel analiz, işlem araştırması, bilgisayar grafikleri gibi alanlarla ilgilidir..

Doğrusal cebiri benimseyen bir başka alan da fiziktir, çünkü bu sayede fiziksel olayları incelemek ve bunları vektörlerin kullanımıyla açıklamak için geliştirilmiştir. Bu, evrenin daha iyi anlaşılmasını mümkün kılmıştır.

indeks

  • 1 Temelleri
    • 1.1 Geometrik olarak
    • 1.2 Analitik olarak
    • 1.3 Aksiyomatik olarak
  • 2 Büyüklük
    • 2.1 Skaler büyüklüğü
    • 2.2 Vektör büyüklüğü
  • 3 Vektörler nelerdir?
    • 3.1 Modülü
    • 3.2 Adres
    • 3.3 Anlam
  • 4 Vektörlerin sınıflandırılması
    • 4.1 Sabit vektör
    • 4.2 Bedava Vektör
    • 4.3 Kayan vektör
  • 5 Vektörlerin Özellikleri
    • 5.1 equipolentes Vektörleri
    • 5.2 Eşdeğer Vektörler
    • 5.3 Vektörlerin eşitliği
    • 5.4 Vektörlerin Karşıtı
    • 5.5 Birim vektör
    • 5.6 Boş Vektör
  • Bir vektörün 6 bileşeni
    • 6.1 Örnekler
  • Vektörlerle 7 İşlem
    • 7.1 Vektör toplama ve çıkarma
    • 7.2 Vektörlerin Çarpımı
  • 8 Kaynakça

temeller

Vektör cebiri, kuaterniyonların (gerçek sayıların uzatılması) 1, i, j ve k çalışmalarının yanı sıra, vektörlerin bir araç olarak hizmet edeceğini fark eden Gibbs ve Heaviside tarafından desteklenen Kartezyen geometrisinden kaynaklanmıştır. çeşitli fiziksel olayları temsil eder.

Vektör cebiri üç temelde incelenmiştir:

geometrik

Vektörler, oryantasyonu olan çizgilerle temsil edilir ve toplama, çıkarma ve gerçek sayılarla çarpma gibi işlemler geometrik yöntemlerle tanımlanır..

analitik

Vektörlerin ve işlemlerin tanımı, bileşen adı verilen sayılarla yapılır. Bu açıklama türü, bir koordinat sistemi kullanıldığı için geometrik bir gösterimin sonucudur..

aksiyom

Vektörlerin bir açıklaması, koordinat sisteminden veya herhangi bir geometrik temsil türünden bağımsız olarak yapılır..

Uzayda şekillerin incelenmesi, bir veya daha fazla boyutta olabilen bir referans sistemindeki temsilleri aracılığıyla yapılır. Ana sistemler arasında:

- Bir noktanın (O) başlangıç ​​noktasını temsil ettiği ve diğer noktanın (P) ölçeği (uzunluk) ve yönünü belirlediği bir çizgi olan tek boyutlu sistem:

- Bir nokta (O) orijininden geçen, x ekseni ve y ekseni adı verilen iki dik çizgiden oluşan dikdörtgen koordinat sistemi (iki boyutlu); Bu şekilde, uçak kadran denilen dört bölgeye ayrılmıştır. Bu durumda, düzlemdeki bir nokta (P) eksenler ve P arasındaki mesafeler tarafından verilir..

- Kutupsal koordinat sistemi (iki boyutlu). Bu durumda, sistem kutup adı verilen O noktasından (orijinli) ve kutup ekseni olarak adlandırılan O kökenli bir ışından oluşur. Bu durumda, düzlemin P noktası, kutup ve kutup eksenine referansla, orijin ile P noktası arasındaki mesafeden oluşan açı (Ɵ) ile verilir..

- Uzayda orijini oluşturan üç dik çizgiden (x, y, z) oluşan dikdörtgen üç boyutlu sistem. Üç koordinat düzlemi oluşturulmuştur: xy, xz ve yz; boşluk sekizgen adı verilen sekiz bölgeye bölünecek. Uzayın P noktasının referansı, P düzlemleri arasındaki mesafeler tarafından verilir..

büyüklükleri

Büyüklük, bazı fiziksel olaylarda olduğu gibi, sayısal bir değerle sayılabilen veya ölçülebilen bir fiziksel niceliktir; Bununla birlikte, bu fenomeni sayısal olmayan diğer faktörlerle tanımlayabilmek sıklıkla gereklidir. Bu yüzden büyüklükler iki türe ayrılır:

Skaler büyüklüğü

Sayısal olarak tanımlanan ve temsil edilen miktarlardır; yani, bir ölçü birimi ile birlikte bir modül. Örneğin:

a) Süre: 5 saniye.

b) Kütle: 10 kg.

c) Hacim: 40 ml.

d) Sıcaklık: 40ºC.

Vektör büyüklüğü

Bir modül ile birlikte bir modül ile birlikte bir duyu ve yön ile tanımlanan ve temsil edilen miktarlardır. Örneğin:

a) Hız: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Hızlanma: 13 m / s2; S 45 ° E.

c) Kuvvet: 280 N, 120º.

d) Ağırlık: -40 ĵ kg-f.

Vektör büyüklükleri grafiksel olarak vektörlerle temsil edilir.

Vektörler nelerdir?

Vektörler, vektör büyüklüğünün grafik gösterimleridir; yani, son uçları bir okun ucu olan düz çizginin parçalarıdır..

Bunlar modül veya segment uzunluklarına, oklarının ucuyla gösterilen hislerine ve ait oldukları çizgiye göre yönlerine göre belirlenir. Bir vektörün kökeni aynı zamanda uygulama noktası olarak da bilinir..

Bir vektörün elemanları şunlardır:

modül

Bir birim ile birlikte gerçek bir sayı ile gösterilen, menşeden bir vektörün sonuna kadar olan mesafedir. Örneğin:

| OM | = | A | = A = 6 cm

adres

X ekseni (pozitif) ile vektör arasındaki açı ölçüsüdür, ayrıca kardinal noktalar (kuzey, güney, doğu ve batı) kullanılır..

duyu

Vektörün sonunda yer alan ok ucu tarafından belirtilir ve bunun nereye gittiğini gösterir..

Vektör sınıflandırma

Genellikle, vektörler şöyle sınıflandırılır:

Sabit vektör

Başvuru noktası (menşei) sabit olandır; yani, uzayın bir noktasına bağlı kaldığını, bunun neden yerinden edilememesinin nedeni olduğunu söyler..

Bedava Vektör

Uzayda serbestçe hareket edebilir çünkü modülü, duyusu veya yönünü değiştirmeden herhangi bir noktaya hareket eder..

Sürgülü vektör

Modülünü, duyusunu veya yönünü değiştirmeden orijini hareket çizgisi boyunca hareket ettirebilendir..

Vektör özellikleri

Vektörlerin ana özellikleri arasında şunlar vardır:

Equipolentes vektörleri

Bunlar aynı modüle sahip serbest vektörlerdir, yön (veya paraleldirler) ve bir sürgülü vektör veya sabit bir vektör olduğunu algılarlar..

Eşdeğer Vektörler

İki vektör aynı adrese (veya paralel), aynı anlama geldiğinde ve farklı modüller ve uygulama noktalarına sahip olmalarına rağmen aynı etkilere neden olurlar.

Vektörlerin eşitliği

Aynı noktaları, yönleri ve hisleri vardır, başlangıç ​​noktaları farklı olsalar bile, paralel bir vektörün onu etkilemeden hareket etmesini sağlarlar..

Vektörlerin Karşısında

Aynı modüle ve yöne sahip olanlar, ancak duyuları zıt.

Vektör birimi

Modül üniteye (1) eşittir. Bu, vektörü modülüne bölerek elde edilir ve bir vektörün yönünü ve duyusunu, düzlemde veya uzayda, baz veya ünitelendirilmiş normalize edilmiş vektörleri kullanarak belirlemek için kullanılır:

Boş vektör

Modülü 0'a eşit olandır; yani, menşe noktaları ve aşırı noktaları aynı noktada çakışmaktadır..

Bir vektörün bileşenleri

Bir vektörün bileşenleri, vektörün referans sisteminin eksenleri üzerindeki çıkıntılarının değerleridir; İki veya üç boyutlu eksende olabilen vektörün ayrışmasına bağlı olarak, sırasıyla iki veya üç bileşen elde edilecektir..

Bir vektörün bileşenleri pozitif, negatif veya hatta sıfır olabilen gerçek sayılardır (0).

Bu nedenle, xy (iki boyutlu) düzlemde dikdörtgen bir koordinat sisteminde ortaya çıkan bir vektörümüz, varsa, x eksenindeki çıkıntı Āx ve y eksenindeki çıkıntı isy olur. Böylece, vektör bileşen vektörlerinin toplamı olarak ifade edilecektir..

Örnekler

İlk örnek

Kökten başlayan bir vektörümüz var ends ve uçlarının koordinatları verilmiştir. Böylece, vektör Ā = (Āx; birve) = (4; 5) cm.

Eğer vektör Ā, üç boyutlu üçgen koordinat sisteminin (uzayda) x, y, z, başka bir noktaya (P) orijiniyle hareket ediyorsa, eksenlerindeki çıkıntılar Āx, Āy ve Āz; Böylece, vektör üç bileşenli vektörlerin toplamı olarak ifade edilecektir..

İkinci örnek

Kökten başlayan bir vektörümüz var ends ve uçlarının koordinatları verilmiştir. Böylece, vektör Ā = (Ax; birve; birz) = (4; 6; -3) cm.

Dikdörtgen koordinatlarına sahip vektörler, temel vektörleri cinsinden ifade edilebilir. Bunun için, sadece her bir koordinat, ilgili birim vektörüyle çarpılmalıdır, öyle ki düzlem ve alan için aşağıdakiler olacaktır:

Uçak için: Ā = Axben + Avej.

Alan için: Ā = Axben + Avej + Azk.

Vektörlerle yapılan işlemler

İvme, hız, yer değiştirme, kuvvet gibi bir modül, algı ve yön, diğerleri arasında birçok büyüklükler vardır..

Bunlar, bilimin çeşitli alanlarında uygulanır ve bunları uygulamak için bazı durumlarda toplama, çıkarma, çarpma ve vektörlerin ve skalerlerin bölünmesi gibi işlemleri yapmak gerekir..

Vektörlerin toplanması ve çıkarılması

Vektörlerin toplanması ve çıkarılması tek bir cebirsel işlem olarak kabul edilir, çünkü çıkarma bir toplam olarak yazılabilir; örneğin, Ā ve Ē vektörlerinin çıkarılması şöyle ifade edilebilir:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Vektörlerin toplanması ve çıkarılması için farklı yöntemler vardır: grafiksel veya analitik olabilirler.

Grafik yöntemleri

Bir vektörün bir modülü, algı ve yönü olduğunda kullanılır. Bunu yapmak için, daha sonra sonuçların belirlenmesine yardımcı olacak bir şekil oluşturan çizgiler çizilir. En iyi bilinenler arasında aşağıdakiler göze çarpmaktadır:

Paralelkenar yöntemi

İki vektörün eklenmesi veya çıkarılması için, koordinat ekseni üzerinde ortak bir nokta seçilir - bu, vektörlerin başlangıç ​​noktasını temsil eder - modülünü, yönünü ve yönünü korur..

Daha sonra bir paralelkenar oluşturmak için çizgiler vektörlere paralel olarak çizilir. Sonuçta ortaya çıkan vektör, her iki vektörün başlangıç ​​noktasından paralelkenarın tepe noktasına kadar çıkan köşegendir:

Üçgen yöntemi

Bu yöntemde vektörler, modüllerini, yönlerini ve yönlerini koruyarak birbiri ardına yerleştirilir. Elde edilen vektör, ilk vektörün kökeni ile ikinci vektörün sonu arasındaki ilişki olacaktır:

Analitik yöntemler

Geometrik veya vektörel bir yöntemle iki veya daha fazla vektör ekleyebilir veya çıkarabilirsiniz:

Geometrik yöntem

İki vektör bir üçgen veya paralelkenar oluşturduğunda, elde edilen vektörün modülü ve yönü sinüs ve kosinüs kanunları kullanılarak belirlenebilir. Bu nedenle, kosinüs yasasını uygulayan ve üçgen yöntemiyle sonuçlanan vektörün modülü:

Bu formülde β, R tarafının karşısındaki açıdır ve bu 180º - Ɵ değerine eşittir..

Buna karşılık, paralelkenar yöntemiyle elde edilen vektör modülü:

Elde edilen vektörün yönü, vektörlerden biri ile sonuçta meydana gelen açı (a) ile verilir..

Sinüs yasasına göre, vektörlerin eklenmesi veya çıkarılması, her üçgenin taraflarının açıların göğüsleriyle orantılı olduğunu bilerek, üçgen veya paralelkenar yöntemiyle de yapılabilir:

Vektör yöntemi

Bu iki şekilde yapılabilir: dikdörtgen koordinatlarına veya temel vektörlerine bağlı olarak.

Koordinatların orijinine eklenecek veya çıkarılacak vektörleri ve daha sonra düzlem (x, y) veya uzay (x, ve, z); Son olarak, bileşenleri cebirsel olarak eklenir. Yani, uçak için bu:

Elde edilen vektörün modülü:

Uzay için ise:

Elde edilen vektörün modülü:

Vektör toplamları yaparken, birkaç özellik uygulanır; bunlar:

- İlişkisel özellik: ilk önce iki vektör ekleyerek ve ardından üçüncü bir vektör ekleyerek sonuç değişmez.

- Değişmeli özellik: vektörlerin sırası sonucu değiştirmez.

- Vektör dağılım özelliği: eğer bir skaler iki vektörün toplamıyla çarpılırsa, her vektör için skaler çarpımına eşittir.

- Skaler dağılım özelliği: eğer bir vektör iki skaler toplamıyla çarpılırsa, her skaler için vektörün çarpımına eşittir.

Vektörlerin çarpımı

Vektörlerin çarpımı veya çarpımı toplama veya çıkarma olarak yapılabilir, ancak bunu yaparken fiziksel anlamını kaybeder ve neredeyse hiçbir zaman uygulamalarda bulunmaz. Bu nedenle, genellikle en çok kullanılan ürün tipleri skaler ve vektörel ürünlerdir..

Skaler ürün

Aynı zamanda iki vektörün nokta ürünü olarak da bilinir. İki vektörün modülleri, aralarında oluşan küçük açının kosinüsüyle çarpıldığında, bir skaler elde edilir. Skaler ürünü iki vektör arasına yerleştirmek için, aralarına bir nokta konulur ve bu şöyle tanımlanabilir:

İki vektör arasında var olan açının değeri, paralel mi yoksa dikey mi olduğuna bağlı olacaktır; Yani, yapmanız gereken:

- Vektörler paralelse ve aynı anlama gelirse, kosinüs 0º = 1.

- Vektörler paralel ve zıt duyular varsa, kosinüs 180º = -1.

- Vektörler dikse kosinüs 90º = 0.

Bu açı aşağıdakileri bilerek de hesaplanabilir:

Skaler ürün aşağıdaki özelliklere sahiptir:

- Değişmeli özellik: vektörlerin sırası skalayı değiştirmez.

-Dağılma özelliği: eğer bir skaler iki vektörün toplamıyla çarpılırsa, her bir vektör için skaler çarpımına eşittir.

Vektör ürün

Vektör çarpımı ya da iki vektör A ve B'nin çarpım ürünü, yeni bir C vektörüyle sonuçlanacak ve vektörler arasında bir çapraz kullanılarak ifade edilecektir:

Yeni vektörün kendine has özellikleri olacak. Bu şekilde:

- Yön: Bu yeni vektör, orijinal vektörler tarafından belirlenen düzleme dik olacaktır.

- Anlam: bu, A vektörünün B'ye doğru döndürüldüğü sağ elin kuralına göre belirlenir, burada parmaklar ile dönme yönünü işaret eder ve baş parmakla vektörün anlamı işaretlenir..

- Modül: AxB vektörlerinin modüllerinin bu vektörler arasında varolan en küçük açının sinüsüyle çarpılmasıyla belirlenir. İfade edilir:

İki vektör arasında var olan açının değeri, paralel mi yoksa dikey mi olduğuna bağlı olacaktır. Ardından, aşağıdakileri doğrulamak mümkündür:

- Vektörler paralelse ve aynı anlama gelirse, sin 0º = 0.

- Vektörler paralel ve zıt duyular varsa, sinüs 180º = 0.

- Vektörler dikse, sinüs 90º = 1.

Bir vektör ürünü, baz vektörleri cinsinden ifade edildiğinde, aşağıdakileri yapmalıdır:

Skaler ürün aşağıdaki özelliklere sahiptir:

- Değişmeli değildir: vektörlerin sırası skalayı değiştirir.

- Dağılma özelliği: eğer bir skaler iki vektörün toplamıyla çarpılırsa, her bir vektör için skaler çarpımına eşittir.

referanslar

  1. Altman Naomi, M.K. (2015). "Basit Doğrusal Regresyon." Doğa Yöntemleri .
  2. Angel, A.R. (2007). İlköğretim Cebiri Pearson Eğitimi,.
  3. Arthur Goodman, L. H. (1996). Analitik geometri ile cebir ve trigonometri. Pearson Eğitimi.
  4. Gusiatnikov, P., & Reznichenko, S. (s.f.). Vektörlerde Cebirden Vektöre. Moskova: Mir.
  5. Lay, D.C. (2007). Lineer cebir ve uygulamaları. Pearson Eğitimi.
  6. Llinares, J.F. (2009). Doğrusal cebir: Vektör uzayları. Öklid vektörü uzayı. Alicante Üniversitesi.
  7. Mora, J.F. (2014). Doğrusal cebir anavatan.