Matematiksel mantık orijini, hangi çalışmalar, türleri



matematiksel mantık veya sembolik mantık, matematiksel akıl yürütmenin doğrulanabileceği veya reddedilebileceği gerekli araçları içeren bir matematik dilidir..

Matematikte belirsizliklerin olmadığı bilinmektedir. Matematiksel bir argüman verildiğinde, bu geçerlidir ya da sadece değildir. Aynı anda yanlış ve doğru olamaz.

Matematiğin belirli bir yönü, bir muhakemenin geçerliliğinin belirlenebileceği biçimsel ve titiz bir dile sahip olmasıdır. Belli bir akıl yürütmeyi veya herhangi bir matematiksel kanıtı reddedilemez kılan şey nedir? Matematiksel mantığın konusu bu.

Dolayısıyla, mantık, matematiksel akıl yürütme ve gösterileri incelemekle yükümlü olan ve önceki ifadelerden veya önermelerden doğru bir sonuç çıkartabilmek için araçlar sağlayan bir disiplindir..

Bunu yapmak için, daha sonra geliştirilecek olan aksiyomları ve diğer matematiksel yönleri kullanır..

indeks

  • 1 Menşei ve tarihçesi
    • 1.1 Aristoteles
  • 2 Ne matematiksel mantık çalışmaları?
    • 2.1 Teklifler
    • 2.2 Gerçek tabloları
  • 3 Matematiksel mantık türleri
    • 3.1 Alanlar
  • 4 Kaynakça

Köken ve tarih

Matematiksel mantığın birçok yönüyle ilgili kesin tarihler kesin değildir. Bununla birlikte, konuyla ilgili olan kaynakçaların çoğu bunun kökenini antik Yunanistan'a kadar izliyor.

Aristo

Mantığın titizlikle muamelesinin başlangıcı, kısmen Orta Çağ'a kadar farklı filozoflar ve bilim adamları tarafından toplanan ve geliştirilen bir dizi mantık eseri yazan Aristoteles'e atfedilir. Bu "eski mantık" olarak düşünülebilir..

Daha sonra, Çağdaş Çağ olarak bilinen şeye rağmen, Leibniz, matematiksel olarak evrensel bir dil kurma arzusuyla hareket etti ve Gottlob Frege ve Giuseppe Peano gibi diğer matematikçiler, özellikle büyük katkıları olan matematiksel mantığın gelişimini etkiledi. Bunlar arasında doğal sayıların vazgeçilmez özelliklerini formüle eden Peano Aksiyomları.

Matematikçiler George Boole ve Georg Cantor da şu anda büyük etkiye sahipti; ayrıca, set teorisi ve doğruluk tablolarına önemli katkılar sağladı, diğer yönlerin yanı sıra Boole Cebirini (George Boole) ve Seçim Aksiyomunu vurguladı. (George Cantor tarafından).

Ayrıca, Morgan’ın meşhur yasaları ile birlikte, reddedişleri, kavuşumları, ayrıkları ve teklifler arasındaki koşullara, Sembolik Mantık’ın geliştirilmesinin anahtarlarına ve ünlü Venn şemalarıyla John Venn’e de sahip olan Augustus De Morgan da.

20. yüzyılda, yaklaşık 1910 ve 1913 arasında, Bertrand Russell ve Alfred North Whitehead, yayınları ile dikkat çekiyor. Principia mathematica, Bir dizi aksiyomu ve mantıksal sonuçları toplayan, geliştiren ve düşündüren bir kitap seti.

Hangi matematiksel mantık çalışmaları?

önermeler

Matematiksel mantık önermelerin çalışılmasıyla başlar. Bir teklif, herhangi bir belirsizlik olmadan, doğru olup olmadığının söylenebileceğinin bir kanıtıdır. Aşağıdaki önerme örnekleridir:

  • 2 + 4 = 6.
  • 52= 35.
  • 1930 yılında Avrupa'da bir deprem oldu..

Birincisi gerçek bir öneri, ikincisi ise sahte bir öneri. Üçüncüsü, okunan kişinin doğru mu yoksa hemen mı olduğunu bilmemesi mümkün olsa da, gerçekten olup olmadığının doğrulanıp tespit edilebileceği bir ifadedir..

Aşağıdakiler, teklif olmayan ifadelere örneklerdir:

  • O sarışın.
  • 2x = 6.
  • Oynayalım!
  • Sinema sever misin?

İlk önermede, "o" kim olduğu belirtilmez, bu nedenle hiçbir şey teyit edilemez. İkinci önermede, "x" ile temsil edilenler belirtilmemiştir. Bunun yerine, bazı doğal sayılar x için 2x = 6 olduğu söylenirse, bu durumda bir önerme karşılık geleceği, aslında doğru, çünkü x = 3 için yerine getirilmişse.

Son iki ifade bir önerme uymuyor çünkü bunları reddetmenin veya onaylamanın bir yolu yok..

Bilinen bağlayıcılar (veya bağlayıcılar) kullanılarak iki veya daha fazla teklif birleştirilebilir (veya birleştirilebilir). Bunlar:

  • İnkar: "Yağmur değil".
  • Ayrılma: "Luisa beyaz veya gri bir çanta aldı".
  • Birlikte: "42= 16 ve 2 × 5 = 10 ".
  • Şartlı: "Yağmur yağarsa, o zaman öğleden sonra spor salonuna gitmiyorum".
  • İki koşullu: "Bu öğleden sonra spor salonuna gidiyorum ve eğer yağmur yağmazsa".

Önceki bağlayıcının hiçbirine sahip olmayan bir önerme basit önerme (veya atomik) olarak adlandırılır. Örneğin, "2, 4'ten küçüktür", basit bir tekliftir. Bazı bağları olan önerme, örneğin "1 + 3 = 4 ve 4 çift sayıdır" gibi bileşik önerileridir..

Öneriler aracılığıyla yapılan ifadeler genellikle uzundur, bu yüzden onları her zaman gördüğümüz gibi yazmak sıkıcıdır. Bu nedenle sembolik bir dil kullanılmıştır. Öneriler genellikle gibi büyük harflerle gösterilir. P, Q, R, S, vb Ve sembolik bağlaç şöyle:

Öyle ki

karşılıklı şartlı teklifin

teklif mi

Ve contrapositive Bir önermenin (veya aykırı)

teklif mi

Doğruluk tabloları

Mantıktaki bir başka önemli kavram ise doğruluk tablolarıdır. Bir önermenin gerçek değerleri, bir teklif için mevcut olan iki olasılıktır: doğru (V ile gösterilecek ve bunun gerçek değeri V olarak söylenecek) veya yanlış (F ile gösterilecek ve değeri söylenecek) bu gerçekten F).

Bir bileşik önermenin gerçeğe uygun değeri, yalnızca, içinde görünen basit önerilerin gerçeğe uygun değerlerine bağlıdır..

Daha genel olarak çalışmak için, belirli önerileri değil, önerme değişkenlerini dikkate alacağız. p, q, r, s, Herhangi bir öneriyi temsil edecek vb..

Bu değişkenler ve mantıksal bağlaçlarla, iyi bilinen önerme formülleri tıpkı bileşik ifadeler oluşturulurken oluşturulur.

Bir önermeli formülde görünen değişkenlerin her biri bir teklif ile değiştirilirse, bir kompozit teklif elde edilir.

Mantıksal bağlaçlar için doğruluk tabloları aşağıdadır:

Doğruluk tablosunda yalnızca V değerini alan, yani doğruluk tablosunun son sütununda yalnızca V değerini alan bir önerme formülü vardır, bu tür formüller totolojiler olarak bilinir. Örneğin:

Aşağıdaki formülün doğruluk tablosu

Α formülünün, every her zaman true doğruysa, doğruysa başka bir β formülünü ima ettiği söylenir. Yani, α ve truth doğruluk tablosunda, α'nın V, β da olduğu sıralar da V'dir. Yalnızca α'nın V'nin değerine sahip olduğu satırlar, mantıksal ima için gösterim aşağıdaki gibidir. :

Aşağıdaki tabloda, mantıksal uygulamanın özellikleri özetlenmiştir:

Gerçeği tabloları aynıysa, iki önerme formülünün mantıksal olarak eşdeğer olduğu söylenir. Aşağıdaki gösterim, mantıksal denkliği ifade etmek için kullanılır:

Aşağıdaki tablolar, mantıksal eşdeğerliğin özelliklerini özetlemektedir:

Matematiksel mantık türleri

Özellikle, diğer alanların yanı sıra felsefeye işaret eden pragmatik ya da gayri resmi mantığı dikkate alırsa farklı türden mantıklar vardır..

Matematiğe gelince, mantık türleri şöyle özetlenebilir:

  • Resmi veya Aristoteles Mantığı (Eski Mantık).
  • Önerme mantığı: biçimsel bir dil kullanarak tartışmaların ve önermelerin geçerliliği ile ilgili her şeyin araştırılmasından sorumludur ve ayrıca semboliktir..
  • Sembolik mantık: kümelerin ve özelliklerinin, aynı zamanda biçimsel ve sembolik bir dille çalışılmasına odaklanmış ve teklif mantığı ile derinden bağlantılıdır..
  • Kombinatoryal mantık: en son geliştirilenlerden biri, algoritmalarla geliştirilebilecek sonuçları içerir..
  • Mantıksal programlama: çeşitli paketlerde ve programlama dillerinde kullanılır.

alanlar

Muhakeme ve argümanlarının geliştirilmesinde matematiksel mantıktan vazgeçilmez bir şekilde yararlanan alanlar arasında, felsefe, küme teorisi, sayı teorisi, yapıcı cebirsel matematik ve programlama dilleri vurgulanır..

referanslar

  1. Aylwin, C. U. (2011). Mantık, Kümeler ve Sayılar. Mérida - Venezuela: Yayınlar Konseyi, Universidad de Los Andes.
  2. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M. ve Soto, A. (1998). Sayı Teorisine Giriş. EUNED.
  3. Castañeda, S. (2016). Sayı teorisinde temel kurs. Kuzey Üniversitesi.
  4. Cofré, A., ve Tapia, L. (1995). Matematiksel Mantıksal Akıl Yürütme Nasıl Geliştirilir. Üniversite Editörlüğü.
  5. Zaragoza, A.C.. Sayılar teorisi. Editoryal Vizyon Kitapları.