Lineer İnterpolasyon Yöntemi, Çözülmüş Egzersizler

doğrusal enterpolasyon Newton'un genel enterpolasyonundan kaynaklanan ve yaklaşık olarak verilen iki sayı arasında bilinmeyen bir değer tespit etmeyi sağlayan bir yöntemdir; yani, bir ara değer var. Ayrıca, f değerlerinin olduğu yaklaşık işlevlere de uygulanır._(A) ve f_(B) Onlar bilinmektedir ve siz f_(X).

Doğrusal, ikinci dereceden, kübik ve daha yüksek dereceler gibi farklı enterpolasyon türleri vardır, en basiti doğrusal yaklaşımdır. Doğrusal enterpolasyon ile ödenmesi gereken fiyat, sonucun yüksek dereceli fonksiyonlarla yapılan yaklaşık değerlerde olduğu kadar doğru olmamasıdır..

indeks

• 1 Tanım
• 2 Yöntemi
• 3 Egzersiz çözüldü
  • 3.1 Egzersiz 1
  • 3.2 Egzersiz 2
• 4 Kaynakça

tanım

Doğrusal enterpolasyon, bir tabloda veya doğrusal bir grafikte olabilen, iyi tanımlanmış iki değer arasında bir değer belirlemenizi sağlayan bir işlemdir..

Örneğin, 3 litre sütün 4 $ değerinde olduğunu ve 5 litrenin 7 $ değerinde olduğunu biliyorsanız, ancak bu ara değeri belirlemek için enterpolasyonlu 4 litre sütün değerinin ne olduğunu bilmek istiyorsanız.

yöntem

Bir fonksiyonun bir ara değerini tahmin etmek için f fonksiyonuna yaklaşılmıştır._(X) düz bir çizgi r vasıtasıyla_(X), bu, fonksiyonun "x = a" ve "x = b" uzatması için "x" ile doğrusal olarak değiştiği anlamına gelir; yani, aralıktaki "x" değeri için (x₀, x₁) ve (ve₀, ve₁) "y" nin değeri, noktalar arasındaki çizgi tarafından verilir ve aşağıdaki ilişki ile ifade edilir:

(ve - ve₀) ÷ (x - x₀) = (ve₁ - ve₀) ÷ (x₁ - x₀)

Bir enterpolasyonun lineer olması için, enterpolasyon polinomunun derece bir derece (n = 1) olması gerekir, böylece x'in değerlerine uyarlanır.₀ ve x_1.

Doğrusal enterpolasyon, üçgenlerin benzerliğine dayanır, böylece önceki ifadeden geometrik olarak türetildiğinde, "x" için bilinmeyen değeri temsil eden "y" değerini elde edebiliriz..

Bu şekilde yapmanız gerekenler:

a = tan Ɵ = (karşı taraf₁ ÷ bitişik bacak₁) = (karşı taraf₂ ÷ bitişik bacak₂)

Başka bir şekilde ifade edilirse:

(ve - ve₀) ÷ (x - x₀) = (ve₁ - ve₀) ÷ (x₁ - x₀)

İfadelerin "ve" ifadelerini temizlediğinizde:

(ve - ve₀) _* (x₁ - x₀) = (x - x₀) _* (ve₁ - ve₀)

(ve - ve₀) = (ve₁ - ve₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

Böylece lineer enterpolasyon için genel denklemi elde ediyoruz:

y = y_{0 +} (ve₁ - ve₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

Genel olarak, doğrusal enterpolasyon, gerçek fonksiyonun gerçek değeri üzerinde küçük bir hata verir, bununla birlikte, bulmak istediğinize yakın bir sayıyı sezgisel olarak seçtiyseniz, hata minimum düzeydedir..

Bu hata, bir eğrinin değerini düz bir çizgiyle yakınlaştırmaya çalıştığınızda oluşur; Bu durumlar için, yaklaşımı daha kesin hale getirmek için aralığın büyüklüğü azaltılmalıdır..

Yaklaşıma göre daha iyi sonuçlar elde etmek için enterpolasyonu gerçekleştirmek için sınıf 2, 3 veya daha yüksek sınıf fonksiyonlarının kullanılması önerilir. Bu durumlar için Taylor teoremi çok faydalı bir araçtır.

Çözülmüş egzersizler

Egzersiz 1

Aşağıdaki tabloda, bir saat boyunca inkübasyonda bulunan birim hacim başına bakteri sayısı aşağıdaki tabloda sunulmuştur. 3,5 saat boyunca bakteri hacminin ne olduğunu bilmek istersiniz..

çözüm

Referans tablo 3.5 saatlik bir süre için bakteri miktarını gösteren bir değer oluşturmaz, ancak sırasıyla 3 ve 4 saatlik bir süreye karşılık gelen daha yüksek ve daha düşük değerlere sahiptir. Bu şekilde:

x₀ = 3 ve₀ = 91

x = 3,5 y =?

x₁ = 4 ve₁ = 135

Şimdi, matematiksel denklem enterpolasyonlu değeri bulmak için uygulanır;

y = y_{0 +} (ve₁ - ve₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)].

Ardından ilgili değerler değiştirilir:

y = 91 + (135 - 91) _* [(3,5 - 3) 5 (4 - 3)]

y = 91 + (44)_* [(0,5) ÷ (1)]

y = 91 + 44 _* 0.5

y = 113.

Böylece, 3.5 saatlik bir süre için bakteri miktarının 113 olduğu ve 3 ila 4 saatlik zamanlarda var olan bakteri hacmi arasındaki orta seviyeyi temsil ettiği elde edildi..

Egzersiz 2

Luis'in bir dondurma fabrikası var ve Ağustos'ta yaptığı geliri belirlemek için yapılan harcamalardan belirlemek için bir çalışma yapmak istiyor. Şirketin yöneticisi bu ilişkiyi ifade eden bir grafik yapar, ancak Luis bilmek ister:

55.000 ABD Doları tutarında bir harcama yapıldıysa, Ağustos ayı geliri nedir??

çözüm

Gelir ve gider değerleri içeren bir grafik verilmiştir. Fabrikanın 55.000 dolarlık bir masrafı varsa Luis, Ağustos gelirinin ne olduğunu bilmek istiyor. Bu değer doğrudan grafiğe yansıtılmaz, ancak bu değerden daha yüksek ve daha düşük olan değerler.

İlk olarak, değerleri kolaylıkla ilişkilendirmek için bir tablo hazırlanır:

Şimdi, enterpolasyon formülü y'nin değerini belirlemek için kullanılır

y = y_{0 +} (ve₁ - ve₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

Ardından ilgili değerler değiştirilir:

y = 56,000 + (78,000 - 56,000) _* [(55.000 - 45.000) ÷ (62.000 - 45.000)]

y = 56.000 + (22.000) _* [(10.000) ÷ (17.000)]

y = 56.000 + (22.000) _* (0.588)

y = 56,000 + 12,936

y = 68,936 ABD doları.

Ağustos ayında 55.000 ABD Doları harcama yapılmışsa, gelir 68.936 ABD Doları olmuştur..

referanslar

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Analitik geometri ile cebir ve trigonometri. Pearson Eğitimi.
2. Harpe, P. d. (2000). Geometrik Grup Teorisinde Konular. Chicago Üniversitesi Basın.
3. Hazewinkel, M. (2001). Doğrusal enterpolasyon ", Matematik Ansiklopedisi.
4. , J. M. (1998). Mühendislik için sayısal yöntemlerin elemanları. UASLP.
5. , E. (2002). Enterpolasyonun bir kronolojisi: Eski astronomiden modern sinyal ve görüntü işlemeye. IEEE Bildirileri.
6. sayısal, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.