Kesikli Olasılık Özelliklerinin Dağılımları ve Egzersizleri



Kesikli olasılık dağılımları X (S) = x1, x2, ..., xi, ... 'in her bir elemanına atanan bir fonksiyondur, burada X belirli bir rasgele değişkendir ve S, bunun örnek alanıdır, söz konusu olayın ortaya çıkma olasılığı. F (xi) = P (X = xi) olarak tanımlanan X (S) 'nin bu işlevi bazen olasılık kütle işlevi olarak adlandırılır..

Bu olasılık kütlesi genellikle bir tablo olarak temsil edilir. X, ayrık rastgele bir değişken olduğundan, X (S) sınırlı sayıda olaya veya sayılabilir bir sonsuzluğa sahiptir. En yaygın kesikli olasılık dağılımları arasında düzgün dağılım, binom dağılım ve Poisson dağılımına sahibiz.

indeks

  • 1 özellikleri
  • 2 Türleri
    • 2.1 n noktaları üzerinden homojen dağılım
    • 2.2 Binom dağılımı
    • 2.3 Poisson dağılımı
    • 2.4 Hipergeometrik dağılım
  • 3 Egzersiz çözüldü
    • 3.1 İlk egzersiz
    • 3.2 İkinci alıştırma
    • 3.3 Üçüncü alıştırma
    • 3.4 Üçüncü alıştırma
  • 4 Kaynakça

özellikleri

Olasılık dağılım fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlamalıdır:

Ayrıca, eğer X yalnızca sınırlı sayıda değer alırsa (örneğin x1, x2, ..., xn), öyleyse p (xi) = 0 ise, bu nedenle, sonsuz koşul b serisi bir olur. sonlu seriler.

Bu işlev ayrıca aşağıdaki özellikleri de yerine getirir:

B, rastgele X değişkeniyle ilişkili bir olay olsun. Bu, B'nin X (S) 'de bulunduğu anlamına gelir. Özellikle, B = xi1, xi2, ... olduğunu varsayalım. Bu nedenle:

Diğer bir deyişle: B olayının olasılığı, B ile ilişkilendirilen bireysel sonuçların olasılıklarının toplamına eşittir..

Bundan bir sonuç çıkarabiliriz. < b, los sucesos (X ≤ a) y (a < X ≤ b)  son mutuamente excluyentes y, además, su unión es el suceso (X ≤ b), por lo que tenemos:

tip

N noktaları üzerinde homojen dağılım

Her bir değere aynı olasılık atanmışsa, rastgele bir X değişkeninin n noktalarında tekdüze olmasıyla karakterize edilen bir dağılım izlediği söylenir. Olasılık kütle fonksiyonu:

İki olası sonucu olan bir deneyimiz olduğunu varsayalım; bunun olası sonuçları yüz veya damga olan bir madalyonun atılması veya sonucu çift sayı veya tek sayı olabilen bir sayının seçimi olabilir; bu tür deneyler Bernoulli'nin testleri olarak bilinir..

Genel olarak, iki olası sonuç başarı ve başarısızlık olarak adlandırılır, burada p başarı olasılığı ve 1-p başarısızlıktır. Birbirinden bağımsız olan n Bernoulli testlerinde aşağıdaki başarı ile x başarı ihtimalini belirleyebiliriz..

Binom dağılımı

Bu, başarı olasılığı p olan bağımsız Bernoulli testlerinde x başarı kazanma olasılığını temsil eden işlevdir. Olasılık kütle fonksiyonu:

Aşağıdaki grafik binom dağılımının parametrelerinin farklı değerleri için olasılık fonksiyon kütlesini göstermektedir.

Aşağıdaki dağıtım adını, binom dağılımının sınırı olarak alan Fransız matematikçi Simeon Poisson'a (1781-1840) borçludur..

Poisson dağılımı

Aşağıdaki olasılık ile, 0,1,2,3, ... pozitif tamsayı değerlerini alabildiğinde rastgele bir X değişkeninin λ parametresinin Poisson dağılımına sahip olduğu söylenir:

Bu ifadede λ, her bir zaman birimi için olayın oluşumuna karşılık gelen ortalama sayıdır ve x, olayın gerçekleştiği sayıdır..

Olasılık kütle fonksiyonu:

Daha sonra, Poisson dağılımının parametrelerinin farklı değerleri için olasılık kütle işlevini temsil eden bir grafik.

Başarı sayısının düşük olduğu ve binom dağılımında yapılan test sayısının yüksek olduğu sürece, Poisson dağılımının binom dağılımının sınırı olduğu için bu dağılımları her zaman hesaplayabileceğimizi unutmayın..

Bu iki dağılım arasındaki temel fark, binomun iki parametreye (yani n ve p) bağlı olmasına rağmen, Poisson'un yalnızca λ'ya (ki bu dağılımın yoğunluğu olarak adlandırılır) bağlı olmasıdır..

Şimdiye kadar, farklı deneylerin birbirinden bağımsız olduğu durumlar için yalnızca olasılık dağılımlarından söz ettik; yani, birinin sonucu başka bir sonuçtan etkilenmediğinde.

Bağımsız olmayan deneylerin olması durumunda, hipergeometrik dağılım çok yararlıdır..

Hipergeometrik dağılım

N, bunlardan k'yı bir şekilde tanımlayabildiğimiz sınırlı bir kümenin toplam nesnesi sayısı olsun, tamamlayıcısı kalan N-k elemanları tarafından oluşturulan bir K alt kümesini oluşturur..

Rastgele n nesnesini seçersek, bu seçimde K'ye ait nesne sayısını temsil eden rastgele X değişkeni, N, n ve k parametrelerinin hipergeometrik dağılımına sahiptir. Olasılık kütle fonksiyonu:

Aşağıdaki grafik hipergeometrik dağılım parametrelerinin farklı değerleri için olasılık fonksiyon kütlesini göstermektedir.

Çözülmüş egzersizler

İlk egzersiz

Bir radyo tüpünün (belirli bir ekipman tipine yerleştirilmiş) 500 saatten fazla çalışabilme ihtimalinin 0,2 olduğunu varsayalım. Eğer 20 tüp test edilirse, bunların tam olarak k'sinin 500 saatten fazla çalışabilme olasılığı nedir, k = 0, 1,2, ..., 20?

çözüm

X, 500 saatten fazla çalışan tüp sayısı ise, X'in binom dağılımına sahip olduğunu varsayacağız. sonra

Ve böylece:

K≥11 için olasılıklar 0,001'den az

Böylece, bu k'nin 500 saatten fazla çalışma olasılığının, maksimum değerine (k = 4 ile) ulaşana ve ardından azalmaya başlayana kadar nasıl arttığını görebiliriz..

İkinci alıştırma

Bir madeni para 6 kez atılır. Sonuç pahalı olduğunda, bunun bir başarı olduğunu söyleyeceğiz. İki yüzün tam olarak ortaya çıkma olasılığı nedir?

çözüm

Bu durumda n = 6 değerine sahibiz ve hem başarı hem de başarısızlık olasılığı p = q = 1/2

Bu nedenle, iki yüzün verilme olasılığı (yani k = 2)

Üçüncü egzersiz

En az dört yüz bulma olasılığı nedir?

çözüm

Bu durumda bizde k = 4, 5 veya 6 var

Üçüncü egzersiz

Bir fabrikada üretilen eşyaların% 2'sinin arızalı olduğunu varsayalım. 100 maddeden oluşan bir örnekte üç hatalı maddenin bulunma ihtimalini P bulma.

çözüm

Bu durumda n = 100 ve p = 0.02 için binom dağılımını uygulayabiliriz, sonuç olarak:

Ancak, p küçük olduğundan, Poisson yaklaşımını λ = np = 2 ile kullanırız. böylece,

referanslar

  1. Kai Lai Chung Stokastik Süreçlerle Temel Olasılık Teorisi. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Rosen, Kesikli Matematik ve Uygulamaları. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Olasılık ve İstatistiksel Uygulamalar. A.Ş. MEKSİKA ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Kesikli Matematik Çözülmüş Problemler. McGraw-Hill.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teori ve Olasılık Problemleri. McGraw-Hill.