Ardışık Türevler (Çözülmüş Alıştırmalarla)



 ardışık türevler ikinci türevin ardından bir fonksiyonun türevleridir. Ardışık türevleri hesaplama işlemi aşağıdaki gibidir: f türevini elde edip elde edebileceğimiz f fonksiyonuna sahibiz. F türevine tekrar türetebiliriz, (f ')'.

Bu yeni fonksiyona ikinci türev denir; ikinciden hesaplanan tüm türevler ardışıktır; Bunlar ayrıca yüksek mertebede denilen, bir fonksiyonun grafiği hakkında bilgi vermek, göreceli aşırılık için ikinci türev testi ve sonsuz serilerin belirlenmesi gibi harika uygulamalara sahiptir..

indeks

  • 1 Tanım
    • 1.1 Örnek 1
    • 1.2 Örnek 2
  • 2 Hız ve ivme
    • 2.1 Örnek 1
    • 2.2 Örnek 2
  • 3 Uygulamalar
    • 3.1 Basitleştirilmiş türevlendirme
    • 3.2 Örnek
    • 3.3 Göreceli biter
    • 3.4 Örnek
    • 3.5 Taylor serisi
    • 3.6 Örnek
  • 4 Kaynakça

tanım

Leibniz gösterimini kullanarak, "ve" için "x" ile ilgili bir fonksiyonun türevinin dy / dx olduğu sonucuna vardık. Leibniz gösterimini kullanarak "ve" nin ikinci türevini ifade etmek için aşağıdakileri yazıyoruz:

Genel olarak, ardışık türevleri, n'nin türev sırasını temsil ettiği Leibniz notasyonu ile aşağıdaki gibi ifade edebiliriz..

Kullanılan diğer gösterimler şunlardır:

Farklı gösterimleri görebildiğimiz bazı örnekler:

Örnek 1

F fonksiyonunun tüm türevlerini aşağıdaki şekilde tanımlayın:

Her zamanki türev tekniklerini kullanarak, f türevinin şöyle olduğuna sahibiz:

Süreci tekrarlayarak ikinci türevi, üçüncü türevi vb. Alabiliriz..

Dördüncü türevin sıfır olduğunu ve sıfırın türevinin sıfır olduğunu unutmayın, bu nedenle:

Örnek 2

Aşağıdaki fonksiyonun dördüncü türevini hesaplayın:

Verilen fonksiyonun türetilmesi sonucu:

Hız ve ivme

Türevin keşfedilmesine yol açan motivasyonlardan biri, anlık hız tanımını aramaktı. Resmi tanım şudur:

Y = f (t) grafiği, bir partikülün yörüngesini bir anda tanımlayan bir fonksiyon olsun t, Daha sonra anlık t'deki hızı:

Bir parçacığın hızını elde ettikten sonra, aşağıdaki şekilde tanımlanan anlık ivmeyi hesaplayabiliriz:

Yolu y = f (t) ile verilen parçacığın anlık ivmesi:

Örnek 1

Bir parçacık pozisyon fonksiyonuna göre bir hat üzerinde hareket eder:

Burada "y" metre cinsinden ve "t" saniye cinsinden ölçülür..

- Hızınız hangi anda 0?

- İvme ne anda? 0?

"Ve" konum fonksiyonunu türetirken, hız ve ivmesini sırasıyla şöyle veririz:

İlk soruyu cevaplamak için, v fonksiyonunun ne zaman sıfır olacağını belirlemek yeterlidir; bu:

Aşağıdaki soruya benzer şekilde devam ediyoruz:

Örnek 2

Bir parçacık, aşağıdaki hareket denklemine göre bir çizgide hareket eder:

A = 0 olduğunda "t, y" ve "v" değerlerini belirleyin.

Hız ve ivme ile bilmek

Türetmeye ve elde etmeye devam ediyoruz:

A = 0 yaparak, biz:

Hangi değerden t'nin a'nın sıfıra eşit olacağına karar verebileceğiz..

Ardından, konum fonksiyonunu ve hız fonksiyonunu t = 1 olarak değerlendirerek, şunları yapmalıyız:

uygulamaları

Basitleştirilmiş türevlendirme

Ardışık türevler, örtük türevlerle de elde edilebilir..

örnek

Aşağıdaki elips verildiğinde, "ve" harfini bulun:

X'e göre dolaylı olarak türetme:

Sonra, x'e göre dolaylı olarak yeniden türeterek, bize:

Sonunda, biz var:

Bağıl biter

İkinci mertebeden türevlere verebileceğimiz bir diğer kullanım, bir fonksiyonun göreceli uçlarının hesaplanmasıdır..

Yerel ekstremler için ilk türev kriteri, (a, b) aralığında bir f fonksiyonunun sürekli olması durumunda ve bu f değerinin c olarak iptal edileceği şekilde bir c'nin var olduğunu söyler. kritik bir noktadır), bu üç durumdan biri oluşabilir:

- (A, c) ve f '(x)' e ait herhangi bir x için f '(x)> 0 ise<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.

- Eğer f '(x) ise < 0 para cualquier x perteneciente a (a,c) y f'(x)>(C, b) 'ye ait x için 0, ardından f (c) yerel bir minimumdur.

- F '(x) (a, c) ve (c, b) işaretlerinde aynı işarete sahipse, f (c)' nin yerel bir uç nokta olmadığı anlamına gelir..

İkinci türev kriterini kullanarak, bir fonksiyonun kritik bir sayısının, belirtilen aralıklarda fonksiyonun işaretinin ne olduğunu görmek zorunda kalmadan maksimum veya yerel bir minimum olup olmadığını anlayabiliriz..

İkinci türetme kriteri bize, eğer f '(c) = 0 ise ve f "(x)' in (a, b) 'da sürekli olduğu durumda, f" (c)> 0' dan sonra f (c) 'nin bir olduğunu belirtir. yerel minimum ve eğer f "(c) < 0 entonces f(c) es un máximo local.

F "(c) = 0 ise, hiçbir şey sonuçlayamayız..

örnek

F (x) = x işlevi verilen4 + (4/3) x3 - 4x2, ikinci türev kriterini uygulayarak göreceli maxima ve f minimumlarını bulmak.

İlk önce f '(x) ve f "(x)' i hesaplar ve şunlara sahibiz:

f '(x) = 4x3 + 4x2 - 8x

f "(x) = 12x2 + 8x - 8

Şimdi, f '(x) = 0 ise, ve sadece 4x (x + 2) (x - 1) = 0 ise, ve x = 0, x = 1 veya x = - 2 olduğunda bu olur.

Elde edilen kritik sayıların göreceli uç nokta olup olmadığını belirlemek için f "de değerlendirmek yeterlidir ve bu nedenle işaretini gözlemlemek yeterlidir..

f "(0) = - 8, yani f (0) yerel bir maksimumdur.

f "(1) = 12, yani f (1) yerel minimumdur.

f "(- 2) = 24, yani f (- 2) yerel bir minimumdur.

Taylor serisi

F aşağıdaki gibi tanımlanmış bir fonksiyon olsun:

Bu fonksiyon, R> 0 yakınsama yarıçapına sahiptir ve (-R, R) deki tüm sıraların türevlerine sahiptir. F'nin ardışık türevleri bize şunları verir:

X = 0 alarak, c değerlerini elde edebiliriz.n türevlerine göre şu şekilde:

F = (= f = 0 = f) işlevi olarak n = 0 alırsak, işlevi aşağıdaki gibi yeniden yazabiliriz:

Şimdi, işlevi x = a'daki bir dizi güç olarak kabul edin:

Bir öncekine benzer bir analiz yaparsak, f fonksiyonunu şöyle yazmamız gerekir:

Bu seri, a'daki f'nin Taylor serisi olarak bilinir. A = 0 olduğunda Maclaurin serisi adı verilen özel bir durum söz konusudur. Bu tür seriler özellikle sayısal analizlerde büyük matematiksel öneme sahiptir, çünkü bunlar sayesinde bilgisayarlarda işlevler tanımlayabiliriz.x , günah (x) ve cos (x).

örnek

E için Maclaurin serisini edininx.

Eğer f (x) = e isex, sonra f(K)(x) = ex ve f(K)(0) = 1, bu yüzden Maclaurin serisi:

referanslar

  1. Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (s.f.). 5ed hesaplama. Mc Graw Hill.
  2. Leithold, L. (1992). Analitik Geometri ile HESAPLAMA. HARLA, S.A.
  3. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). hesaplama. Meksika: Pearson Eğitimi.
  4. Saenz, J. (2005). Diferansiyel Hesaplama. hipotenüs.
  5. Saenz, J. (s.f.). Kapsamlı Matematik. hipotenüs.