Cebirsel türevler (örneklerle)



cebirsel türevler Belirli cebirsel fonksiyonlar durumunda türev çalışmasında oluşurlar. Türev kavramının kökeni Eski Yunanistan'a dayanıyor. Bu kavramın gelişimi, biri fizikte diğeri matematikte olmak üzere iki önemli sorunu çözme ihtiyacı ile motive edildi..

Fizikte, türev hareketli bir nesnenin anlık hızını belirleme problemini çözer. Matematikte, belirli bir noktada bir eğriye teğet çizgiyi bulabilirsiniz..

Her ne kadar türev ve bunun genellemeleri ile çözülmüş olan birçok problem olsa da, kavramının tanıtılmasından sonra ortaya çıkan sonuçlar.

Diferansiyel hesabın öncüleri Newton ve Leibniz'dir. Resmi tanımı vermeden önce, arkasındaki fikri matematiksel ve fiziksel açıdan geliştireceğiz..

indeks

  • 1 Teğet çizginin eğriye eğimi olarak türev
  • 2 Hareketli bir cismin anlık hızı olarak türev
    • 2.1 Cebirsel fonksiyon
  • 3 Türev kuralları
    • 3.1 Bir sabitten türetilmiş
    • 3.2 Bir gücün türevi
    • 3.3 Toplama ve çıkarma işlemlerinden elde edilmiştir.
    • 3.4 Bir ürünün türevi
    • 3.5 Bir bölümden türetilmiş
    • 3.6 Zincir kuralı
  • 4 Kaynakça

Teğet çizginin eğriye eğimi olarak türev

Y = f (x) işlevinin grafiğinin sürekli bir grafik olduğunu (tepe noktaları veya tepe noktaları veya ayrılmalar olmadan) olduğunu ve A = (a, f (a)) üzerinde sabit bir nokta olmasını sağlayın. Teğet çizginin A noktasında f fonksiyonunun grafiğine denklemini bulmak istiyoruz.

Grafiğin P = (x, f (x)) herhangi bir noktasını, A noktasına yakın bir noktaya getirin ve A ve P içinden geçen sekant çizgisini çizin. veya daha fazla puan.

İstediğimiz teğet çizgiyi elde etmek için, sadece eğimi hesaplamamız gerekir, çünkü çizgide zaten bir noktaya sahibiz: nokta A.

P noktasını grafik boyunca hareket ettirip A noktasına yaklaştırıp yaklaştırırsak, yukarıda belirtilen sekant çizgisi bulmak istediğimiz teğet çizgiye yaklaşacaktır. "P A'ya yöneldiğinde" sınır alarak, her iki çizgi de aynı hizada olacaktır;.

Sekant hattının eğimi

P'nin A'ya yaklaştığını söylemek, "x" in "a" ya yaklaştığını söylemeye eşdeğerdir. Böylece, teğet çizginin A noktasındaki f grafiğine olan eğimi şuna eşit olacaktır:

Yukarıdaki ifade f '(a) ile gösterilir ve "a" noktasındaki f fonksiyonunun türevi olarak tanımlanır. Daha sonra analitik olarak, bir noktadaki bir fonksiyonun türevinin bir sınır olduğunu, fakat geometrik olarak, noktadaki fonksiyonun grafiğine teğet çizginin eğimi olduğunu görüyoruz..

Şimdi bu kavramı fizik bakış açısıyla göreceğiz. Her ne kadar farklı bir yolla tanımın oybirliğini elde etse de, önceki sınırın aynı ifadesine ulaşacağız..

Hareketli bir cismin anlık hızı olarak türev

Anlık hızın ne anlama geldiğine dair kısa bir örnek görelim. Örneğin, bir varış yerine ulaşmak için bir aracın saatte 100 km hızla yaptığı söylenirse, bu bir saatte 100 km yol aldığını gösterir..

Bu, tüm saat boyunca otomobilin her zaman 100 km uzaklıkta olduğu anlamına gelmez, arabanın hız göstergesinin bazı dakikalarda daha az veya daha fazla olabileceği anlamına gelmez. Trafik ışıklarında durması gerekiyorsa, o andaki hız 0 km idi. Ancak, bir saat sonra, rota 100 km.

Bu, ortalama hız olarak bilinen şeydir ve geçen zaman arasında kat edilen mesafenin katsayısı, az önce gördüğümüz gibi verilmiştir. Anlık hız, diğer bir deyişle, bir otomobilin hız göstergesinin iğnesini bir anda (zaman) belirlenmiş bir zamanda işaretler..

Buna şimdi daha genel olarak bakalım. Bir nesnenin bir çizgi boyunca hareket ettiğini ve bu yer değiştirmenin s = f (t) denklemi ile temsil edildiğini varsayalım ki burada t değişkeni zamanı ölçer ve değişken değişkenin yer değişimini başlatır. anlık t = 0, o sırada da sıfırdır, yani, f (0) = 0.

Bu işlev f (t) bir konum işlevi olarak bilinir.

Nesnenin ani hızı için sabit bir "a" anında ifadesi aranır. Bu hızda V (a) ile göstereceğiz..

Anlık "a" ya yakın olan herhangi bir anı bırakmayın. "A" ve "t" arasındaki zaman aralığında, nesnenin f (t) -f (a) ile verdiği pozisyon değişikliği.

Bu zaman aralığındaki ortalama hız:

Bu anlık V (a) hızının bir yaklaşımıdır. Bu yaklaşım “a” ya yaklaştıkça daha iyi olacaktır. bu nedenle,

Bu ifadenin önceki durumda elde edilen ifadeye eşit olduğunu ancak farklı bir bakış açısıyla olduğunu gözlemleyin. Bu, f fonksiyonunun "a" noktasındaki f türevi olarak bilinir ve yukarıda belirtildiği gibi f '(a) ile gösterilir..

Değişikliği h = x-a yaparak, "x" "a" 'ya, "h" nin 0' a, ve önceki sınırın (eşit olarak) şuna dönüştürüldüğünü unutmayın:

Her iki ifade de eşdeğerdir, ancak duruma bağlı olarak bazen yerine diğerini kullanmak daha iyidir..

Bir fonksiyonun türevi daha sonra, daha genel olarak, kendi alanına ait olan herhangi bir noktada "x" olarak tanımlanır.

Y = f (x) fonksiyonunun türevini temsil eden en yaygın gösterim, az önce gördüğümüz (f 'o ve') fonksiyonudur. Bununla birlikte, yaygın olarak kullanılan bir başka notasyon, aşağıdaki ifadelerden herhangi biri olarak temsil edilen Leibniz notasyonudır:

Türevin esasen bir limit olduğu gerçeği göz önüne alındığında, sınırlar her zaman bulunmadığından mevcut olabilir veya olmayabilir. Varsa, söz konusu işlevin verilen noktada farklı olduğu söylenir..

Cebirsel fonksiyon

Bir cebirsel fonksiyon, toplamlar, çıkarmalar, ürünler, bölümler, güçler ve radikallerle polinomların bir birleşimidir..

Bir polinom, formun bir ifadesidir

Pn= anxn+ içinN-1xN-1+ içinN-2xN-2+... + a2x2+ için1x + a0

N, doğal bir sayı ve tümben, i = 0,1 ile ..., n, rasyonel sayılar ven≠ 0 Bu durumda, bu polinomun derecesinin n olduğu söylenir..

Cebirsel fonksiyonların örnekleri aşağıdadır:

Burada üstel, logaritmik ve trigonometrik fonksiyonlar dahil edilmemiştir. Aşağıda göreceğimiz türev alma kuralları genel olarak fonksiyonlar için geçerlidir, ancak cebirsel fonksiyonlar için kendimizi kısıtlayacağız ve bunları uygulayacağız..

Kuralları atla

Bir sabitten türetilmiş

Bir sabitin türevinin sıfır olduğunu tespit eder. Yani, eğer f (x) = c ise, f '(x) = 0 olur. Örneğin, sabit fonksiyonun 2 türevi, 0'a eşittir..

Bir güçten türetilmiş

Eğer f (x) = x isen, sonra f '(x) = nxN-1. Örneğin, x türevi3 3x2. Bunun bir sonucu olarak, f (x) = x kimlik fonksiyonunun türevinin f '(x) = 1x olduğunu elde ettik.1-1= x0= 1.

Başka bir örnek şudur: be f (x) = 1 / x2, sonra f (x) = x-2 ve f '(x) = -2x-2-1= -2x-3.

Bu özellik ayrıca geçerli köklerdir, çünkü kökler rasyonel güçlerdir ve yukarıdakileri de bu durumda uygulayabilirsiniz. Örneğin, bir kare kökün türevi,

Bir toplama ve çıkarma işleminden elde edilmiştir.

F ve g, x'te farklılaştırılabilir işlevler ise, f + g'nin toplamı da farklıdır ve (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Benzer şekilde, (f-g) '(x) = f' (x) -g '(x) değerine sahibiz. Başka bir deyişle, bir toplamın (çıkarma) türevi, türevlerin toplamıdır (veya çıkarma)..

örnek

Eğer h (x) = x ise2+x-1, sonra

h '(x) = (x2) + (x) '- (1)' = 2x + 1-0 = 2x + 1.

Bir üründen türetilmiş

F ve g, x'te farklılaştırılabilir işlevler ise, o zaman fg ürünü de x'te farklılaşabilir ve bu

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Sonuç olarak, eğer c bir sabitse ve f, x'te farklılaştırılabilir bir fonksiyonsa, cf'nin x ve (cf) '(x) = cf' (X) cinsinden de farklılaştırılabildiğini düşünüyoruz..

örnek

Eğer f (x) = 3x ise (x2+1), sonra

f '(x) = (3x)' (x2+1) + (3x) (x2+1) '= 3 (x)' (x2+1) + 3x [(x2) '+ (1)']

= 3 (1) (x2+1) + 3x [(2x2-1) +0] = 3 (x2+1) + 3x (2x) = 3x2+3 + 6x2

= 9x2+3.

Bir bölümden türetildi

F ve g, x ve g (x) ≠ 0'da farklılaştırılabilirse, f / g de x'de farklılaştırılabilir ve doğru olduğu

örnek: eğer h (x) = x ise3/ (x2-5x), sonra

h '(x) = [(x3) '(x5-5x) - (x3) (x5-5x) '] / (x5-5x)2= [(3x2) (x5-5x) - (x3) (5x4-5)] / (x5-5x)2.

Zincir kuralı

Bu kural, fonksiyonların kompozisyonunun türetilmesine izin verir. Aşağıdakileri belirler: y = f (u) u içinde ayırt edilebilir ise, yu = g (x) x'te farklılaştırılırsa, f (g (x)) bileşik işlevi x'te farklılaşır ve [f ( g (x))] '= f' (g (x)) g '(x).

Yani, bir bileşik fonksiyonun türevi, harici fonksiyonun türevinin (harici türev), iç fonksiyonun türevi tarafından (iç türev) ürünüdür..

örnek

Eğer f (x) = (x4-2x)3, sonra

f '(x) = 3 (x)4-2x)2(x4-2x) '= 3 (x4-2x)2(4x3-2).

Bir fonksiyonun tersinin türevini ve ayrıca yüksek mertebeden türevlere genellemeyi hesaplamak için sonuçlar da vardır. Uygulamalar kapsamlı. Bunlar arasında optimizasyon problemlerinde ve maksimum ve minimum fonksiyon problemlerinde faydalarını vurgularlar..

referanslar

  1. Alarcon, S., González, M. ve Quintana, H. (2008). Diferansiyel Hesaplama. ITM.
  2. Cabrera, V.M. (1997). Hesaplama 4000. Editoryal Progreso.
  3. Castaño, H. F. (2005). Hesaplama öncesi matematik. Medellin Üniversitesi.
  4. Eduardo, N. A. (2003). Hesaplamaya Giriş. Eşik basımları.
  5. Kaynaklar, A. (2016). TEMEL MATEMATİK. Hesaplamaya Giriş. Lulu.com.
  6. Purcell, E.J., Rigdon, S.E., ve Varberg, D.E. (2007). hesaplama. Pearson Eğitimi.
  7. Saenz, J. (2005). Diferansiyel Hesaplama (İkinci basım). Barquisimeto: Hipotenüs.
  8. Thomas, G.B., ve Weir, M.D. (2006). Hesaplama: birkaç değişken. Pearson Eğitimi.