Aksiyomatik yöntem özellikleri, basamakları, örnekler



aksiyomatik yöntem ya da Aksiyomatik olarak da adlandırılan, bilimler tarafından kullanılan, aksiyomlar olarak adlandırılan ifadelerin ya da önermelerin formüle edildiği, birbirine indirgenebilirlik ilişkisi ile birbirine bağlanan ve belirli bir sistemin hipotezinin ya da koşullarının temeli olan formel bir prosedürdür..

Bu genel tanım, bu metodolojinin tarih boyunca sahip olduğu evrim içinde çerçevelenmelidir. İlk olarak, Euclid'den Antik Yunanistan'da doğan ve daha sonra Aristoteles tarafından geliştirilen eski bir yöntem veya içerik var..

İkincisi, ondokuzuncu yüzyılda, Öklidinkinden farklı olan aksiyomlara sahip bir geometrinin ortaya çıkışı. Ve son olarak, maksimum üsteli David Hilbert olan biçimsel ya da modern aksiyomatik yöntem.

Zaman içindeki gelişiminin ötesinde, bu prosedür, oluştuğu geometri ve mantıkta kullanılan tümdengelim yönteminin temeli olmuştur. Fizik, kimya ve biyolojide de kullanılmıştır..

Ve hatta hukuk bilimi, sosyoloji ve politik ekonomiye uygulandı. Ancak, şu anda en önemli uygulama alanı matematik ve sembolik mantık ve diğer disiplinlerin yanı sıra termodinamik, mekanik gibi bazı fizik dallarıdır..

indeks

  • 1 özellikleri 
    • 1.1 Eski aksiyomatik yöntem veya içerik 
    • 1.2 Öklid dışı aksiyomatik yöntem
    • 1.3 Modern veya resmi aksiyomatik yöntem
  • 2 adım 
  • 3 Örnekler
  • 4 Kaynakça

özellikleri

Bu yöntemin temel özelliği aksiyomların formülasyonu olmasına rağmen, bunlar her zaman aynı şekilde düşünülmemiştir..

Keyfi bir şekilde tanımlanabilen ve inşa edilebilen bazıları vardır. Ve diğerleri, sezgisel olarak garanti edilen gerçeğin dikkate alındığı bir modele göre.

Bu farkın nelerden oluştuğunu ve sonuçlarını özellikle anlamak için, bu yöntemin evrimini gözden geçirmek gerekir..

Eski aksiyomatik yöntem veya içerik 

Antik Yunan'da MÖ 5. yy'da kurulmuş olanıdır. Uygulama alanı geometridir. Bu etabın temel eseri Öklid Elemanlarıdır, ondan önce Pisagor'un zaten aksiyomatik yöntemi doğurduğu düşünüldüğü halde.

Bu nedenle Yunanlılar, herhangi bir mantıksal kanıt gerektirmeden, yani gösteriye ihtiyaç duymadan, onlar için açık bir gerçek oldukları için aksiyomlar olarak bazı gerçekleri kabul ederler..

Euclides, bölümü için geometri için beş aksiyom sunuyor:

1-İki puan verilmişse, bunları içeren veya bağlayan bir çizgi vardır..

2-Her iki taraftaki sınırsız bir çizgide herhangi bir bölüm sürekli devam ettirilebilir.

3-Herhangi bir noktada bir merkez ve herhangi bir yarıçapa sahip bir daire çizebilirsiniz.

4-Dik açıların hepsi aynı.

5-Herhangi bir düz çizgi ve içinde olmayan bir nokta alarak, buna paralel bir düz çizgi var ve o noktayı içeriyor. Bu aksiyom, daha sonra, paralelliklerin aksiyomu olarak bilinir ve şu şekilde de belirtilmiştir: bir çizginin dışındaki bir nokta ile tek bir paralel çizilebilir.

Bununla birlikte, hem Euclid hem de daha sonraki matematikçiler, beşinci aksiyomun diğer 4 kadar sezgisel olmadığı konusunda hemfikirdirler. Rönesans döneminde bile diğer 4'ün beşincisini çıkarmaya çalışıyor, ancak mümkün değil.

Bu, zaten on dokuzuncu yüzyılda, beşi sürdürenlerin Öklid geometrisinin destekçileri ve beşinciyi inkar edenlerin Öklid dışı geometrileri yaratanlar olmasını sağladı..

Öklid dışı aksiyomatik yöntem

Tam anlamıyla Nikolai İvanoviç Lobachevski, János Bolyai ve Johann Karl Friedrich Gauss, çelişki olmadan, Euclid'den farklı olan aksiyom sistemlerinden gelen bir geometri oluşturma olasılığını görüyor. Bu, aksiyomların mutlak veya priori gerçeğine olan inancı ve onlardan türeyen teorileri yok eder..

Bu nedenle, aksiyomlar verilen bir teorinin başlangıç ​​noktaları olarak algılanmaya başlar. Ayrıca hem seçimleri hem de geçerliliği bir şekilde veya başka bir şekilde, aksiyomatik teori dışındaki gerçeklerle ilişkilendirilmeye başlar..

Bu şekilde, aksiyomatik yöntemle oluşturulan geometrik, cebirsel ve aritmetik teorileri ortaya çıkar..

Bu aşama, 1891'de Giuseppe Peano gibi aritmetik için aksiyomatik sistemler oluşturulmasıyla sonuçlanır; 1899'da David Hubert'in geometrisi; 1910’da İngiltere’de Alfred North Whitehead ve Bertrand Russell’ın açıklamaları ve tahminleri; 1908'de Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo kümelerinin aksiyomatik teorisi.

Modern veya resmi aksiyomatik yöntem

Resmi bir aksiyomatik yöntem kavramını başlatan ve sonuçta ortaya çıkan David Hilbert, David Hubert..

Yaptığı açıklamada, bilimsel bir dili formüle eden, ifadelerini formüllerinde veya kendi içinde bir anlamı olmayan işaretlerin dizileri olarak düşünen Hilbert'tir. Sadece belirli bir yorumda anlam kazanıyorlar.

"İçindeGeometrinin temelleri"Bu metodolojinin ilk örneğini açıklar. Buradan geometri, Öklid sisteminden daha iyi ifade edilen bir hipotez veya aksiyom sisteminden elde edilen, saf mantıksal sonuçların bilimi haline gelir..

Bunun nedeni, eski sistemde aksiyomatik teorinin, aksiyomların kanıtlarına dayanmasıdır. Biçimsel teorinin temeli aksiyomlarının çelişmemesinin gösterilmesiyle verilirken.

adımlar

Bilimsel teoriler içerisinde aksiyomatik bir yapılanma yapan prosedürün;

a-Belli bir sayıda aksiyom seçimi, yani belli bir teorinin gösterilmesi gerekmeksizin kabul edilen bir dizi önermesi.

b-Bu önerilerin bir parçası olan kavramlar verilen teori çerçevesinde belirlenmez.

c-verilen teorinin tanımlanması ve çıkarılması kuralları sabittir ve teoriye yeni kavramlar getirilmesine izin verir ve diğerlerinden bazı önerileri mantıksal olarak çıkarır..

d-Teorinin diğer önermeleri, yani teoremi, c bazında çıkarılır..

Örnekler

Bu yöntem, en iyi bilinen iki Euclid teoreminin gösterimi ile doğrulanabilir: bacak teoremi ve yükseklik teoremi..

Her ikisi de, bu Yunan geometrisinin gözleminden doğar, yükseklik hipotenusa göre dik bir üçgene göre çizildiğinde, iki üçgen orijinalden daha fazla görünür. Bu üçgenler birbirine benzer ve aynı zamanda orijin üçgenine benzer. Bu, kendi homolog taraflarının orantılı olduğunu varsayar..

Bu şekilde üçgenlerdeki eş açıların bu şekilde AAA benzerlik kriterine göre yer alan üç üçgen arasında var olan benzerliği doğruladığı görülebilir. Bu kriter iki üçgenin eşit açılara sahip olduklarında benzer olduklarını göstermektedir.

Üçgenlerin benzer olduğu gösterildiğinde, ilk teoremde belirtilen oranlar belirlenebilir. Bir dik üçgende, her bir kateterin ölçülmesinin, hipotenüs ile içindeki kateterin izdüşümü arasında geometrik orantılı bir ortalama olduğunu belirtir..

İkinci teorem, yükseklik teorisidir. Herhangi bir dik üçgenin, hipotenusa göre çizilen yüksekliğin, hipotenüs üzerinde bahsedilen geometrik ortalama tarafından belirlenen segmentler arasında geometrik orantılı bir ortalama olduğunu belirtir..

Tabii ki her iki teorem de sadece eğitim alanında değil, mühendislik, fizik, kimya ve astronomi alanında da dünya çapında sayısız uygulamaya sahiptir..

referanslar

  1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometri, biçimcilik ve sezgi: David Hilbert ve biçimsel aksiyomatik yöntem (1895-1905). Felsefe Dergisi, Cilt 39 Sayı 2, s.121-146. Revistas.ucm.es sitesinden alınmıştır..
  2. Hilbert, David. (1918) Aksiyomatik düşünce. W.Ewald'da editör, Kant'tan Hilbert'e: matematiğin temelini oluşturan kaynak bir kitap. Cilt II, sayfa 1105-1114. Oxford Üniversitesi Yayınları. 2005 a.
  3. Hintikka, Jaako. (2009). Aksiyomatik yöntem nedir? Synthese, Kasım 2011, cilt 189, s.69-85. Link.springer.com adresinden alındı.
  4. López Hernández, José. (2005). Çağdaş Hukuk Felsefesine Giriş. (Ss.48-49). Books.google.com.ar adresinden alınmış.
  5. Nirenberg, Ricardo. (1996) The Axiomatic Method, Ricardo Nirenberg tarafından okundu, Güz 1996, Albany Üniversitesi, Rönesans Projesi. Albany.edu'dan alınmış.
  6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert, Matematiğin resmi ve gayri resmi tarafı arasında. El yazması vol. 38 hayır. 2, Campinas Temmuz / Ağustos 2015. scielo.br'dan alınmıştır.