Öklid Teoremi Formülleri, Gösterme, Uygulama ve Alıştırmalar

Öklid teoremi sağ üçgenin özelliklerini, birbirine benzer ve sırayla orijinal üçgene benzeyen iki yeni sağ üçgene ayıran bir çizgi çizerek gösterir; o zaman, orantılılık ilişkisi var..

Öklid, eski çağın en önemli matematikçilerinden ve geometrilerinden biriydi ve birçok önemli teorem gösterileri yaptı. En önemlilerinden biri, geniş bir uygulama alanı olan adını taşıyan kişidir..

Bu böyle oldu, çünkü bu teorem vasıtasıyla, basit bir şekilde, bu bacakların hipotenustaki çıkıntılarıyla ilişkili olduğu dik üçgende var olan geometrik ilişkileri açıklar..

indeks

• 1 Formüller ve gösteri
  • 1.1 Yükseklik Teoremi
  • 1.2 Bacak teoremi
• 2 Öklid teoremleri arasındaki ilişki
• 3 Egzersiz çözüldü
  • 3.1 Örnek 1
  • 3.2 Örnek 2
• 4 Kaynakça

Formüller ve gösteri

Öklid teoremi, her dik üçgende, bir çizgi çizildiğinde - ki bu, hipotenusa göre dik açının tepe noktasına karşılık gelen yüksekliği temsil eder - iki dik üçgen orijinalden oluşur..

Bu üçgenler birbirine benzer olacak ve aynı zamanda orijinal üçgene de benzer olacaktır.

Üç üçgenin açıları uyumludur; yani, tepe noktasında 180 dereceye döndürüldüğünde, bir açı diğerine denk gelir. Bu, herkesin eşit olacağı anlamına gelir.

Bu şekilde, üç üçgen arasında var olan benzerliği açılarının eşitliği ile de doğrulayabilirsiniz. Üçgenlerin benzerliğinden Euclid, bunların oranlarını iki teoremden alır:

- Yükseklik teoremi.

- Bacak teoremi.

Bu teorem geniş bir uygulamaya sahiptir. Antik dönemde, trigonometri için büyük bir ilerlemeyi temsil eden yükseklikleri veya mesafeleri hesaplamak için kullanılmıştır..

Halen mühendislik, fizik, kimya ve astronomi gibi matematiğe dayanan birçok alanda uygulanmaktadır..

Yükseklik teoremi

Bu teorem, herhangi bir dik üçgende, hipotenusa göre dik açıyla çizilen yüksekliğin, hipotenusu belirleyen bacakların çıkıntıları arasındaki geometrik orantılı ortalama (yükseklik karesi) olduğunu belirtir.

Yani, yüksekliğin karesi, hipotenuse oluşturan yansıtılan bacakların çarpımına eşit olacaktır:

h_c² = m _* n

gösteri

C köşesinde dikdörtgen olan ABC üçgeni göz önüne alındığında, yükseklikte iki benzer sağ üçgen çizilirken, ADC ve BCD üretilir; bu nedenle, karşılık gelen tarafları orantılıdır:

Öyle ki yükseklik h_c bu CD'ye karşılık gelir, AB = c hipotenüsüne karşılık gelir, bu yüzden:

Sırasıyla, bu:

Hipotenusu temizlemek (h_c), iki eşitlik üyesini çarpmak için yapmanız gereken:

h_{c *} h_{c =} m _* n

h_c² = m _* n

Böylece, hipotenüsün değeri şu şekilde verilir:

Bacak teoremi

Bu teorem, her bir bacağın ölçüsünün, her bir bacağın ölçüsünün, hipotenüsün ölçüsü (tamamlandı) ile her birinin üzerine yansıması arasındaki geometrik orantılı ortalama (her bacağın karesi) olacağını belirtir:

b² = c _* m

için² = c_* n

gösteri

C köşesinde bir dikdörtgen olan bir ABC üçgeni göz önüne alındığında, hipotenüsünün c olacağı şekilde, yüksekliği (h) çizerken, sırasıyla a ve b bacakları olan a ve b bacaklarının çıkıntıları belirlenir. hipotenüs.

Bu nedenle, ABC sağ üçgeninde çizilen yüksekliğin, ADC ve BCD gibi iki benzer sağ üçgen oluşturduğu ve böylece karşılık gelen tarafların bu şekilde orantılı olması için:

DB = n, CB bacağının hipotenüs üzerindeki izdüşümüdür.

AD = m, kateter AC'nin hipotenüs üzerindeki izdüşümüdür.

Sonra, hipotenüs c, çıkıntılarının bacaklarının toplamı ile belirlenir:

c = m + n

ADC ve BCD üçgenlerinin benzerliği nedeniyle:

Yukarıdakiler aynıdır:

İki eşitlik üyesini çoğaltmak için "a" bacağını silerek birinin:

için _* a = c _* n

için² = c _* n

Böylece, "a" bacağının değeri şu şekilde verilir:

Benzer şekilde, ACB ve ADC üçgenlerinin benzerliği nedeniyle:

Yukarıdakilere eşittir:

İki eşitlik üyesini çoğaltmak için "b" bacağını temizleyerek birinin yapması gereken:

b _* b = c _* m

b² = c _* m

Böylece, "b" bacağının değeri şu şekilde verilir:

Öklid teoremleri arasındaki ilişki

Boy ve bacaklara atıfta bulunan teoremler birbirleriyle ilişkilidir, çünkü ikisinin de ölçüsü, dik üçgenin hipotenüsüne göre yapılır..

Öklid teoremleri arasındaki ilişkiyle, yükseklik değeri de bulunabilir; Bu, m ve n değerlerinin bacak teoreminden temizlenmesi ile mümkündür ve yükseklik teoreminde değiştirilirler. Bu şekilde, yükseklik, hipotenüs tarafından bölünen bacakların çarpımına eşittir:

b² = c _* m

m = b² ÷ c

için² = c _* n

n = a² ÷ c

Yükseklik teoreminde, m ve n değiştirilir:

h_c² = m _* n

h_c² = (b² ÷ c) _* (a² ÷ c)

h_c = (b²_* için²) ÷ c

Çözülmüş egzersizler

Örnek 1

ABC üçgeni göz önüne alındığında, A içindeki dikdörtgen, AB = 30 cm ve BD = 18 cm ise AC ve AD ölçüsünü belirleyin.

çözüm

Bu durumda, yansıtılan bacaklardan birinin (BD) ve orijinal üçgenin (AB) bacaklarından birinin ölçümlerine sahibiz. Bu şekilde, BC bacağının değerini bulmak için bacak teoremini uygulayabilirsiniz..

AB² = BD _* M.Ö.

(30)² = 18 _* M.Ö.

900 = 18 _* M.Ö.

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

CD kateterinin değeri, BC = 50 olduğunu bilerek bulunabilir:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Şimdi katetüs AC'nin değerini belirlemek, tekrar bacak teoremini uygulamak mümkündür:

AC² = CD _* BD

AC² = 32 _* 50

AC² = 160

AC = √1600 = 40 cm

Yüksekliğin değerini belirlemek için (AD), yükseklik teoremi uygulanır, çünkü yansıtılan bacakların CD ve BD değerleri bilinir:

AD² = 32 _* 18

AD² = 576

AD = √576

AD = 24 cm

Örnek 2

Segmentlerin ölçümlerini bilerek, bir üçgen MNL yüksekliği (h), N cinsinden dikdörtgen, değerini belirleyin:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

çözüm

Hipotenüs (PM) üzerine yansıtılan bacaklardan birinin ölçümünün yanı sıra orijinal üçgenin bacaklarının ölçümlerine sahipsiniz. Bu şekilde, bacak teoremi öngörülen diğer bacağın (LN) değerini bulmak için uygulanabilir:

NL² = PM _* LM

(10)² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Bacakların ve hipotenüsün değerini zaten bildiğimiz gibi, yükseklik teoremleri ve bacaklar arasındaki ilişki ile yükseklik değeri belirlenebilir:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b²_* için²) ÷ c.

h = (10²_* 5²)  ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

referanslar

1. Braun, E. (2011). Kaos, fraktallar ve garip şeyler. Ekonomik Kültür Fonu.
2. Cabrera, V.M. (1974). Modern Matematik, Cilt 3.
3. Daniel Hernandez, D.P. (2014). 3. yıl matematik Karakas: Santillana.
4. Ansiklopedi Britannica, i. (1995). İspanyol Ansiklopedisi: Makropedi. Ansiklopedi Britannica Yayıncıları.
5. Euclid, R.P. (1886). Öklid'in Geometri Elemanları.
6. Guardeño, A. J. (2000). Matematiğin mirası: Öklid'den Newton'a, dahiler kitapları aracılığıyla. Sevilla Üniversitesi.