Bolzano Teoremi Açıklama, Çözülen Uygulamalar ve Uygulamalar

Bolzano teoremi bir fonksiyonun kapalı bir aralığın [a, b] tüm noktalarında sürekli olup olmadığını ve "a" ve "b" (fonksiyonun altında) görüntüsünün zıt işaretlere sahip olduğuna kanaat getirirse, o zaman en az bir nokta olacaktır. Açık aralıktaki "a" (a, b), "c" de değerlendirilen fonksiyon 0'a eşit olacak şekilde.

Bu teorem, 1850'de filozof, teolog ve matematikçi Bernard Bolzano tarafından duyurulmuştu. Günümüz Çek Cumhuriyeti'nde doğan bu bilim adamı, tarihte sürekli fonksiyonların özelliklerini resmi olarak gösteren ilk matematikçilerden biriydi..

indeks

• 1 Açıklama
• 2 gösteri
• 3 Ne için??
• 4 Egzersiz çözüldü
  • 4.1 Egzersiz 1
  • 4.2 Egzersiz 2
• 5 Kaynakça

açıklama

Bolzano teoremi, gerçek bir değişkenin belirli gerçek fonksiyonlarının belirli değerlerinin, özellikle sıfırlarının belirlenmesinde yardımcı olan ara değerler teoremi olarak da bilinir..

Belirli bir fonksiyonda f (x) devam eder, yani f (a) ve f (b), bir eğriyle bağlanır, burada f (a), x ekseninin (negatif) altındadır ve f (b), x ekseninin üzerinde (pozitif) veya tersi grafik olarak, x ekseninde "a" ve "b" arasında bir ara değeri "c" ve "a" ile "b" arasında bir kesim noktası temsil edecek bir kesme noktası olacaktır. 0'a eşit olacak.

Bolzano teoremini grafiksel olarak analiz ederek, f (a) 'nın [a, b] aralığında sürekli olarak tanımlanmış her bir fonksiyon için, f (a) olduğunu biliyoruz._*f (b) 0'dan küçükse, (a, b) aralığında o işlevin en az bir kökü "c" olacaktır..

Bu teorem, bu açık aralıkta varolan nokta sayısını belirlemez, sadece en az 1 nokta olduğunu belirtir.

gösteri

Bolzano teoremini ispatlamak için, f (a) < 0 y f(b) > 0; Bu şekilde, "a" ve "b" arasında f (x) = 0 olan birçok değer olabilir, ancak yalnızca bir tane olduğunu göstermeniz gerekir..

F orta noktasında (a + b) / 2 değerlendirerek başlayın. Eğer f ((a + b) / 2) = 0 ise test burada sona ermektedir; Aksi takdirde, f ((a + b) / 2) pozitif veya negatif olur.

[A, b] aralığının yarısından biri, uçlarda değerlendirilen fonksiyon işaretlerinin farklı olacağı şekilde seçilir. Bu yeni aralık [a1, b1] olacaktır..

Şimdi, eğer [a1, b1] orta noktasında değerlendirilen f sıfır değilse, o zaman öncekiyle aynı işlem gerçekleştirilir; yani, işaretlerin durumunu karşılayan bu aralığın yarısı seçilir. Bu yeni aralık ol [a2, b2].

Bu sürece devam edilirse, iki sıralı an ve bn alınacaktır, şöyle ki:

an artıyor ve bn azalıyor:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ bir ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Her aralığın uzunluğunu [ai, bi] hesaplarsanız:

b1-a1 = (b-a) / 2.

b2-a2 = (b-a) / 2².

... .

bn-an = (b-a) / 2 ^ n.

Bu nedenle, n (bn-an) 'ın sonsuzluğuna eğilimi olan sınır 0'a eşittir..

An 'ın artması ve sınırlanması ve bn azalması ve sınırlandırılması kullanılarak, şöyle bir değer "c" olmalı:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ bir ≤ ... .≤ c ≤ .... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Bir limiti "c" ve bn limiti de "c" dir. Bu nedenle, herhangi bir δ> 0 verildiğinde, her zaman bir aralıkta [a, bn] aralığı (c-δ, c + that) içerecek şekilde bir "n" vardır..

Şimdi, f (c) = 0 olduğu gösterilmelidir..

Eğer f (c)> 0 ise, f sürekli olduğu için interval> 0 vardır, öyle ki f aralık boyunca pozitif olur (c-ε, c + ε). Bununla birlikte, yukarıda belirtildiği gibi, f [an, bn] 'daki işareti değiştirecek ve ek olarak [an, bn]' nin (c-ε, c + ε) içinde yer alacağı şekilde bir "n" değeri vardır, çelişki nedir.

Eğer f (c) < 0, entonces como f es continua, existe un ε >0 f, aralık boyunca negatif olacak şekilde (c-ε, c + ε); ancak "n" değeri vardır, öyle ki f [an, bn] 'daki işaret değiştirir. [An, bn] 'in (c-ε, c + ε) içinde bulunduğu ve bu da bir çelişki olduğu ortaya çıktı..

Bu nedenle, f (c) = 0 ve göstermek istediğimiz şey bu.

Bu ne için??

Bolzano teoremi, grafiksel yorumundan, sürekli bir fonksiyonda kökleri veya sıfırları bulmak için, aralıkları daima 2'ye bölen artımlı bir arama yöntemi olan biseksiyon (yaklaşık) üzerinden kullanır..

Ardından, işaret değişikliğinin gerçekleştiği bir aralık [a, c] veya [c, b] alın ve istediğiniz değere yaklaşmak için aralık daha küçük ve daha küçük olana kadar işlemi tekrarlayın; yani, fonksiyonun yaptığı değer 0.

Özetle, Bolzano teoremini uygulamak ve böylece kökleri bulmak, bir fonksiyonun sıfırlarını sınırlamak veya bir denkleme çözüm vermek için aşağıdaki adımlar uygulanır:

- F [a, b] aralığında sürekli bir fonksiyon olup olmadığı doğrulanır..

- Aralık verilmezse, fonksiyonun sürekli olduğu yer bulunmalıdır..

- Aralığın uç noktalarının f cinsinden değerlendirildiğinde karşıt işaretler verip vermediği doğrulanır..

- Eğer karşıt işaretler alınmazsa, ara nokta orta nokta kullanılarak iki alt aralığa bölünmelidir..

- Fonksiyonu orta noktada değerlendirin ve Bolzano hipotezinin karşılandığını doğrulayın, burada f (a) _* f (b) < 0.

- Bulunan değerin işaretine (pozitif veya negatif) bağlı olarak, söz konusu hipotez yerine getirilinceye kadar süreç yeni bir alt girişimle tekrarlanır..

Çözülmüş egzersizler

Egzersiz 1

F (x) = x fonksiyonunun olup olmadığını belirleyin.² - 2, aralıkta en az bir gerçek çözüme sahiptir..

çözüm

F (x) = x fonksiyonuna sahibiz² - 2. Polinom olduğu için, herhangi bir aralıkta sürekli olduğu anlamına gelir..

[1, 2] aralığında gerçek bir çözümünüz olup olmadığını belirlemeniz istenir, bu nedenle şimdi bunların işaretini bilmek ve farklı olmanın koşullarını yerine getirip getirmediklerini bilmek için işlevdeki aralığın uçlarını değiştirmeniz yeterlidir:

f (x) = x² - 2

f (1) = 1² - 2 = -1 (negatif)

f (2) = 2² - 2 = 2 (pozitif)

Bu nedenle, f (1) işareti ≠ işareti f (2).

Bu, [1,2] aralığına ait en az bir nokta "c" olmasını sağlar, burada f (c) = 0.

Bu durumda, "c" nin değeri aşağıdaki gibi kolayca hesaplanabilir:

x² - 2 = 0

x = ± √2.

Böylece, √2 ≈ 1,4 [1,2] aralığına ait ve f (√2) = 0.

Egzersiz 2

Denkleminin x olduğunu kanıtlayın⁵ + x + 1 = 0 en az bir gerçek çözüme sahip.

çözüm

İlk not f (x) = x⁵ + x + 1 bir polinom fonksiyonudur, yani tüm gerçek sayılarda sürekli olduğu anlamına gelir.

Bu durumda herhangi bir aralık verilmez, bu nedenle fonksiyonu değerlendirmek ve işaret değişikliklerini bulmak için değerler sezgisel olarak, tercihen 0'a yakın seçilmelidir:

[0, 1] aralığını kullanırsanız yapmanız gereken:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

İşaret değişikliği olmadığından işlem başka bir aralıkla tekrarlanır..

[-1, 0] aralığını kullanırsanız yapmanız gereken:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1)⁵ + (-1) + 1 = -1 < 0.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

Bu aralıkta bir işaret değişikliği vardır: f (-1) işareti ≠ (f) işareti, yani f (x) = x işlevi⁵ + x + 1, [-1, 0] aralığında en az bir gerçek kök "c" 'ye sahiptir, öyle ki f (c) = 0 olur. Başka bir deyişle, x⁵ + x + 1 = 0, [-1,0] aralığında gerçek bir çözüme sahiptir..

referanslar

1. Bronshtein I, S.K. (1988). Mühendisler ve Öğrenciler İçin Matematik El Kitabı ... Editorial MIR.
2. George, A. (1994). Matematik ve Zihin. Oxford Üniversitesi Yayınları.
3. Ilín V, P. E. (1991). Matematiksel Analiz Üç ciltte ...
4. Jesús Gómez, F. G. (2003). Ortaöğretim Öğretmenleri. Cilt II MAD.
5. Mateos, M.L. (2013). R de analizin temel özellikleri, Editörler, 20 Aralık.
6. Piskunov, N. (1980). Diferansiyel ve İntegral Hesaplamalar
7. Sydsaeter K, H.P. (2005). Ekonomik Analiz için Matematik. Felix Varela.
8. William H. Barker, R.H. (s.f.). Sürekli Simetri: Öklid'den Klein'a. Amerikan Matematiksel Soc.