Bayes teoremi açıklaması, uygulamalar, alıştırmalar



Bayes teoremi verilen A olayının olasılık dağılımı ve sadece A'nın olasılık dağılımı açısından, B verilen rastgele bir olay A'nın koşullu olasılığını ifade etmemizi sağlayan bir prosedürdür..

Bu teorem çok kullanışlıdır, çünkü sayesinde, bir olayın B olabileceğini bilerek bir olayın meydana gelme olasılığını, zıtın ortaya çıkma olasılığını, yani B 'nin verilen A olayını ilişkilendirebiliriz.

Bayes teoremi, on sekizinci yüzyıl İngiliz teoloğu olan ve aynı zamanda matematikçi olan Rahip Thomas Bayes'in gümüş bir önerisiydi. Teolojide çeşitli çalışmaların yazarıydı, ancak şu anda yukarıda bahsedilen Bayes Teoreminin ana sonuç olarak öne çıktığı birkaç matematiksel tezle tanınıyor..

Bayes, bu teoremi, 1763'te yayınlanan ve olasılık doktrinindeki bir problemi çözmek için büyük çalışmalar geliştiren, “Değişim Doktrinde Problem Çözmeye Doğru Bir Deneme” başlıklı bir makalede ele alındı. Çeşitli bilgi alanlarındaki uygulamalarla çalışmalar..

indeks

  • 1 Açıklama
  • 2 Bayes Teoremi Uygulamaları
    • 2.1 Çözülmüş Egzersizler
  • 3 Kaynakça

açıklama

İlk olarak, bu teoremi daha fazla anlamak için bazı temel olasılık teorisi kavramları, özellikle şartlı olasılık için çarpım teoremi gereklidir.

E ve A için örneklem uzayının keyfi olayları S.

Ve eğer varsa bize söyleyen bölümlerin tanımı,1 ,bir2,..., An örneklem uzayının S olayları, bunlar S ise, S'nin bir bölümünü oluşturacaktır.ben karşılıklı olarak münhasırlar ve sendikaları S.

Buna sahip, B başka bir olay olsun. O zaman B'yi görebiliriz.

Neredeben B ile kesişen karşılıklı özel olaylar.

Ve sonuç olarak,

Ardından çarpım teoremini uygulama

Öte yandan, Ai'nin B'ye verilen koşullu olasılığı;

Yeterince ikame etmek için herhangi bir i

Bayes Teoremi Uygulamaları

Bu sonuç sayesinde, araştırma grupları ve çeşitli şirketler bilgiye dayalı sistemleri geliştirmeyi başardılar.

Örneğin, hastalıkların çalışmasında, Bayes teoremi hastalığın küresel oranlarını ve belirtilen özelliklerin baskınlığını veri olarak alarak, belirli bir özelliği olan bir grup insanda bir hastalığın bulunma olasılığını ayırt etmeye yardımcı olabilir. hem sağlıklı hem de hasta insanlar.

Öte yandan, yüksek teknolojiler dünyasında, bu sonucu sayesinde, "Bilgiye Dayalı" yazılımını geliştiren büyük şirketleri etkiledi..

Günlük bir örnek olarak Microsoft Office asistanımız var. Bayes teoremi, yazılımın kullanıcının sunduğu sorunları değerlendirmesine ve hangi tavsiyelerin sağlanacağına karar vermesine yardımcı olur ve böylece kullanıcının alışkanlıklarına göre daha iyi bir hizmet sunabilir.

Bu formülün son zamanlara kadar göz ardı edildiği unutulmamalıdır, bunun nedeni, bu sonuç 200 yıl önce geliştirildiğinde, onlar için pratikte az kullanım olduğu gerçeğidir. Bununla birlikte, zamanımızda, büyük teknolojik gelişmeler sayesinde, bilim adamları bu sonucu uygulamaya koymak için yollar elde etmişlerdir..

Çözülmüş Egzersizler

Egzersiz 1

Bir hücresel şirketin iki makine A ve B'si vardır. Üretilen cep telefonlarının% 54'ü makine A ve geri kalanı makine B tarafından yapılmıştır. Üretilen tüm cep telefonları iyi durumda değildir..

A ile yapılan hatalı cep telefonlarının oranı 0.2, B ise 0.5'tir. Bahsedilen fabrikanın cep telefonunun arızalı olma olasılığı nedir? Bir cep telefonunun arızalı olduğunu bilerek, makineden gelmesi olasılığı nedir??

çözüm

Burada iki bölümden oluşan bir deneyiniz var; ilk bölümde olaylar meydana gelir:

A: makine A tarafından yapılan cep telefonu.

B: makine B tarafından yapılan cep telefonu.

A makinesi cep telefonlarının% 54'ünü ürettiğinden ve geri kalanı B makinesi tarafından üretildiğinden, B makinesi, cep telefonlarının% 46'sını üretir. Bu olayların olasılıkları verilmiştir:

P (A) = 0.54.

P (B) = 0,46.

Deneyin ikinci bölümünün olayları:

D: kusurlu hücre.

E: kusurlu olmayan hücre.

Açıklamada belirtildiği gibi, bu olayların olasılığı ilk bölümde elde edilen sonuca bağlıdır:

P (D | A) = 0,2.

P (D | B) = 0.5.

Bu değerleri kullanarak, bu olayların tamamlayıcılarının olasılıklarını da belirleyebilirsiniz:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0,2

= 0,8

ve

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0,5

= 0.5.

Şimdi, D olayı aşağıdaki gibi yazılabilir:

Çarpım teoremini koşullu olasılık için kullanmak, şöyle sonuçlanır:

İlk sorunun cevabını veren.

Şimdi sadece Bayes Teoreminin uygulandığı P (A | D) 'yi hesaplamamız gerekiyor:

Bayes Teoremi sayesinde, cep telefonunun arızalı olduğunu bilerek, cep telefonunun A makinesi tarafından yapıldığı ihtimalinin 0.319 olduğu söylenebilir..

Egzersiz 2

Üç kutu beyaz ve siyah toplar içerir. Her birinin bileşimi aşağıdaki gibidir: U1 = 3B, 1N, U2 = 2B, 2N, U3 = 1B, 3N.

Kutulardan biri rastgele seçilir ve rastgele bir top çıkarılır, bu beyaz olur. Seçilmiş olan kutucuk hangisidir??

çözüm

U1, U2 ve U3 sayesinde, seçilen kutuyu da temsil edeceğiz..

Bu olaylar S'nin bir bölümünü oluşturur ve kutunun seçimi rastgele olduğundan P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 olduğu doğrulanır..

Eğer B = çıkarılan top beyaz ise, P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4 olacak .

Elde etmek istediğimiz, topun beyaz olduğunu, yani P (Ui | B) olduğunu bilerek topun Ui'nin kutudan çıkarılma olasılığı olduğunu ve bu üç değerden hangisinin hangisinin en yüksek olduğunu bilmesidir. kutu büyük olasılıkla beyaz topun çıkarılmasıyla olmuştur.

Bayes teoremini kutuların ilkine uygulamak:

Ve diğer ikisi için:

P (U2 | B) = 2/6 ve P (U3 | B) = 1/6.

Daha sonra, kutuların ilki, beyaz topun çıkarılması için seçilmiş olma olasılığı daha yüksek olanıdır.

referanslar

  1. Kai Lai Chung Stokastik Süreçlerle Temel Olasılık Teorisi. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Rosen, Kesikli Matematik ve Uygulamaları. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Olasılık ve İstatistiksel Uygulamalar. A.Ş. MEKSİKA ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Kesikli Matematik Çözülmüş Problemler. McGraw-Hill.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teori ve Olasılık Problemleri. McGraw-Hill.