Göreli kuzenler nelerdir? Özellikleri ve örnekler

Denir göreceli kuzenler (Birbirlerine göreceli olarak coprimos veya kuzenler), ortak dışında herhangi bir bölen bulunmayan tam sayı çiftlerine, 1.

Başka bir deyişle, iki tam sayı, asal sayılardaki ayrışmalarında ortak bir faktör yoksa, göreli kuzenlerdir..

Örneğin, eğer 4 ve 25 seçildiyse, her birinin birincil çarpan ayrıştırması sırasıyla 2 ² ve 5 are olur. Takdir edileceği gibi, bunların ortak bir faktörü yoktur, bu nedenle 4 ve 25, nispi kuzenlerdir..

Öte yandan, eğer 6 ve 24 seçildiyse, asal çarpanlardaki ayrışmalarını gerçekleştirirken, 6 = 2 * 3 ve 24 = 2³ * 3 sonucunu elde ederiz..

Görebildiğiniz gibi, bu son iki ifadede ortak en az bir faktör vardır, bu nedenle, göreceli primerler değildir..

Göreli kuzenler

Dikkat edilmesi gereken bir nokta, bir çift tamsayının göreceli primerler olduğunu söylemenin, bunların hiçbirinin asal bir sayı olduğu anlamına gelmediğidir..

Öte yandan, yukarıdaki tanım aşağıdaki gibi özetlenebilir: "a" ve "b" iki tamsayıları, eğer bunlardan en yaygın ortak bölen 1, yani mcd ise, göreceli primerlerdir. a, b) = 1.

Bu tanımın iki önemli sonucu şöyledir:

-"A" (veya "b") asal bir sayıysa, mcd (a, b) = 1.

-"A" ve "b" asal sayılar ise, mcd (a, b) = 1.

Yani, seçilen sayılardan en az biri bir asal sayıysa, doğrudan sayılar çifti göreceli asal sayılardır..

Diğer özellikler

İki sayının göreceli asal olup olmadığını belirlemek için kullanılan diğer sonuçlar:

-Eğer iki tam sayı ardışık ise, bunlar göreceli kuzenlerdir..

-İki "a" ve "b" doğal sayısı, "(2 ^ a) -1" ve "(2 ^ b) -1" sayıları nispi prim ise, nispi primerlerdir..

-"A" ve "b" nin iki tamsayısı, eğer (a, b) noktasının Kartezyen düzleminde çizilmesi ve orijinalin (0,0) ve (a) noktasından geçen çizginin oluşturulması durumunda göreceli primerlerdir. , b) bu, tüm koordinatlarda herhangi bir nokta içermiyor.

Örnekler

1.- 5 ve 12 tam sayılarını göz önünde bulundurun. Her iki sayının da ana faktör parçalanması: sırasıyla 5 ve 2² * 3. Sonuç olarak, gcd (5,12) = 1, dolayısıyla 5 ve 12 göreceli primerlerdir..

2.- -4 ve 6 numaralarını bekleyin. Ardından -4 = -2² ve 6 = 2 * 3, böylece LCD (-4.6) = 2 ≠ 1 olsun. Sonuç olarak -4 ve 6, göreceli kuzenler değildir..

Sıralı çiftlerden (-4.6) ve (0.0) geçen çizgiyi çizmeye ve bu çizginin denklemini belirlemeye devam edersek, noktadan (-2.3) geçtiğini doğrulayabiliriz..

Yine -4 ve 6'nın göreceli kuzen olmadığı sonucuna varılmıştır..

3.- 7 ve 44 sayıları göreceli sayılardır ve yukarıdakiler sayesinde hızlı bir şekilde sonuçlanabilir, çünkü 7 bir asal sayıdır.

4.- 345 ve 346 sayılarını dikkate alın. Ardışık iki sayı olması durumunda, mcd (345,346) = 1, dolayısıyla 345 ve 346'nın göreceli primerler olduğu doğrulanır..

5.- 147 ve 74 sayıları dikkate alınırsa, bunlar göreceli kuzenlerdir, çünkü 147 = 3 * 7² ve 74 = 2 * 37, bu nedenle gcd (147.74) = 1.

6.- 4 ve 9 sayıları bağıl primerlerdir. Bunu göstermek için yukarıda belirtilen ikinci karakterizasyon kullanılabilir. Aslında, 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 ve 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.

Elde edilen sayılar 15 ve 511'dir. Bu sayıların asal çarpanları sırasıyla 3 x 5 ve 7 x 73'tür, böylece mcd (15,511) = 1 olur..

Gördüğünüz gibi, ikinci karakterizasyonu kullanmak doğrudan doğrulamaktan daha uzun ve zahmetli bir iştir.

7.- -22 ve -27 sayılarını düşünün. Sonra bu sayılar aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir: -22 = -2 * 11 ve -27 = -3³. Bu nedenle, gcd (-22, -27) = 1, yani -22 ve -27 göreceli primerlerdir..

referanslar

1. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M. ve Soto, A. (1998). Sayı Teorisine Giriş. EUNED.
2. Bourdon, P.L. (1843). Aritmetik elemanlar. Efendiler ve Calleja'nın Çocukları Kitabevi.
3. Castañeda, S. (2016). Sayı teorisinde temel kurs. Kuzey Üniversitesi.
4. Guevara, M. H. (s.f.). Tam Sayıların Kümesi. EUNED.
5. Yüksek Öğretmen Eğitimi Enstitüsü (İspanya), J. L. (2004). Çocuğun ortamındaki sayılar, formlar ve hacimler. Milli Eğitim Bakanlığı.
6. Palmer, C.I., & Bibb, S.F. (1979). Pratik matematik: aritmetik, cebir, geometri, trigonometri ve slayt kuralı (yeniden basım.). Reverte.
7. Rock, N.M. (2006). Cebir I Kolay! Çok kolay. Takım Rock Press.
8. Smith, S.A. (2000). cebir. Pearson Eğitimi.
9. Szecsei, D. (2006). Temel Matematik ve Cebir Öncesi (resimli ed.). Kariyer Basını.
10. Toral, C. ve Preciado, M. (1985). 2. Matematik Kursu. Editoryal Progreso.
11. Wagner, G., Caicedo, A. ve Colorado, H. (2010). Aritmetiğin Temel İlkeleri. ELIZCOM S.A.S.