Ürün Çapraz Özellikleri, Uygulamaları ve Çözülmüş Egzersizler



Çapraz ürün veya ürün vektörü İki veya daha fazla vektörü çarpmanın bir yoludur. Vektörleri çarpmanın üç yolu vardır, fakat bunların hiçbiri kelimenin normal anlamında bir çarpma değildir. Bu formlardan biri, üçüncü bir vektörle sonuçlanan bir vektör ürünü olarak bilinir..

Çapraz ürün veya dış ürün olarak da adlandırılan vektör ürünü, farklı cebirsel ve geometrik özelliklere sahiptir. Bu özellikler, özellikle fizik çalışmasında çok yararlıdır.

indeks

  • 1 Tanım
  • 2 Özellikler
    • 2.1 Mülkiyet 1
    • 2.2 Gayrimenkul 2
    • 2.3 Mülk 3
    • 2.4 Mülkiyet 4 (üçlü skaler ürün)
    • 2.5 Özellik 5 (üçlü vektör ürünü)
    • 2.6 Emlak 6
    • 2.7 Gayrimenkul 7
    • 2.8 Gayrimenkul 8
  • 3 Uygulamalar
    • 3.1. Paralel bir bölmenin hacim hesaplaması
  • 4 Egzersiz çözüldü
    • 4.1 Egzersiz 1
    • 4.2 Egzersiz 2
  • 5 Kaynakça

tanım

Vektör ürününün resmi bir tanımı şöyledir: A = (a1, a2, a3) ve B = (b1, b2, b3) vektör ise, AxB olarak göstereceğimiz A ve B'nin vektör ürünü:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

AxB gösterimi nedeniyle, "A çapraz B" olarak okur..

Dış ürünün nasıl kullanılacağına dair bir örnek, A = (1, 2, 3) ve B = (3, -2, 4) 'in vektörler olması durumunda, o zaman, vektör ürünün tanımını kullanarak elimizdeki:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (-2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (-2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Vektör ürününü ifade etmenin başka bir yolu, belirleyiciler notasyonu ile verilmiştir..

İkinci dereceden bir determinantın hesaplanması şöyle yapılır:

Bu nedenle, tanımda verilen vektör ürününün formülü aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

Bu genellikle aşağıdaki gibi üçüncü bir düzenleyicide sadeleştirilir:

Burada i, j, k, R'nin temelini oluşturan vektörleri temsil eder.3.

Çapraz ürünü ifade etmenin bu yolunu kullanarak, önceki örneğin şu şekilde yeniden yazılabileceğini gördük:

özellikleri

Vektör ürününün sahip olduğu bazı özellikler şunlardır:

Özellik 1

A, R'deki herhangi bir vektör ise3, Yapmamız gereken:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Bu özelliklerin yalnızca tanım kullanılarak kontrol edilmesi kolaydır. A = (a1, a2, a3) ise şunları yapmalıyız:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Eğer i, j, k R nin birim temelini temsil ediyorsa3, Onları aşağıdaki gibi yazabiliriz:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Ardından, aşağıdaki özellikleri yerine getirmeliyiz:

Anımsatıcı bir kural olarak, bu özellikleri hatırlamak için aşağıdaki daire genellikle kullanılır:

Burada kendisinin olduğu herhangi bir vektörün vektör 0 ile sonuçlandığını ve ürünlerin geri kalanının şu kuralla elde edilebileceğini not etmeliyiz:

İki ardışık vektörün saat yönünde çapraz ürün aşağıdaki vektörü verir; ve saat yönünün tersine bakıldığında, sonuç negatif işaretli bir takip eden vektördür..

Bu özellikler sayesinde, vektör ürününün değişmez olmadığını görebiliriz; örneğin, i x j ≠ j x i olduğunu fark etmek yeterlidir. Aşağıdaki özellik bize AxB ve BxA'nın genel olarak nasıl bir ilişki olduğunu anlatır..

Gayrimenkul 2

A ve B R vektörleri ise3, Yapmamız gereken:

AxB = - (BxA).

gösteri

Eğer A = (a1, a2, a3) ve B = (b1, b2, b3) ise, harici ürünün tanımına göre:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (-1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Bu ürünün aşağıdaki örnekle ilişkili olmadığını da gözlemleyebiliriz:

ix (ixj) = ixk = - j ama (ixi) xj = 0xj = 0

Bundan şunu gözlemleyebiliriz:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Gayrimenkul 3

A, B, C R vektörü ise3 ve r gerçek bir sayıdır, aşağıdaki doğrudur:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Bu özellikler sayesinde, vektör ürününü, siparişe uyulması şartıyla cebir yasalarını kullanarak hesaplayabiliriz. Örneğin:

A = (1, 2, 3) ve B = (3, -2, 4), R'nin kanonik temeline dayanarak yeniden yazabiliriz.3.

Böylece, A = i + 2j + 3k ve B = 3i - 2j + 4k. Ardından, önceki özellikleri uygulayarak:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Emlak 4 (üçlü skaler ürün)

Başlangıçta belirttiğimiz gibi, vektör ürününün yanı sıra vektörleri çarpmanın başka yolları da var. Bu yollardan biri, A ∙ B olarak gösterilen ve tanımı şu şekilde olan skaler ürün veya iç üründür:

A = (a1, a2, a3) ve B = (b1, b2, b3) ise, A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Her iki ürünü de ilişkilendiren özellik, üçlü skaler ürün olarak bilinir..

A, B ve C R vektörleri ise3, sonra A ∙ BxC = AxB ∙ C

Örnek olarak, A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) ve C = (- 5, 1, - 4) verildiğinde bu özelliğin yerine getirildiğini görelim..

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

Öte yandan:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Diğer bir üçlü ürün, üçlü vektör ürünü olarak bilinen Ax (BxC) 'dir..

Özellik 5 (üçlü vektör ürünü)

A, B ve C R vektörleri ise3,  o zaman:

Ax (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Örnek olarak, A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) ve C = (- 5, 1, - 4) verildiğinde bu özelliğin yerine getirildiğini görelim..

Önceki örnekten BxC = (- 18, - 22, 17) olduğunu biliyoruz. Baltayı (BxC) hesaplayalım:

Ax (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Öte yandan, şunları yapmalıyız:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Yani, biz zorundayız:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, -4)

Gayrimenkul 6

Vektörlerin geometrik özelliklerinden biridir. A ve B, R’de iki vektör ise3 ve Θ bunlar arasında oluşan açıdır, o zaman:

|| AxB || = || A |||| B || sin (Θ), nerede || ∙ || bir vektörün modülünü veya büyüklüğünü gösterir.

Bu özelliğin geometrik yorumu aşağıdaki gibidir:

A = PR ve B = PQ olsun. Daha sonra, A ve B vektörleri tarafından oluşturulan açı, aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, RQP üçgeninin P açısıdır..

Bu nedenle, PR ve PQ komşu kenarları olan paralelkenarın alanı || A |||| B || sin (Θ), çünkü temel olarak alabiliriz || A || ve yüksekliği || B || sin (Θ) tarafından verilir..

Bu nedenle, bunu söyleyebiliriz || AxB || söz konusu paralelkenarın alanı.

örnek

Aşağıdaki dörtlü P (1, -2,3), Q (4, 3, -1), R (2, 2,1) ve S (5,7, -3) köşeleri göz önüne alındığında, söz konusu kuadrilateralin bir paralelkenar ve alanını bulmak.

Bunun için ilk önce dörtgen kenarların yönünü belirleyen vektörleri belirleriz. Bu:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2, 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Gördüğümüz gibi, A ve C aynı vektör yönetmenine sahip, bunun için ikimiz de paraleliz; aynı şekilde B ve D ile olduğu gibi. Bu nedenle, PQRS'nin bir paralelkenar olduğu sonucuna vardık..

Söz konusu paralelkenarın alanına sahip olmak için BxA'yı hesaplarız:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Bu nedenle, kare alan şöyle olacaktır:

|| BxA ||2 = (- 6)2 + (- 2)2 + (- 7)2 = 36 + 4 + 49 = 89.

Paralelkenar alanın 89'un karekökü olacağı sonucuna varılabilir..

Gayrimenkul 7

İki vektör A ve B, R'de paraleldir3 evet ve sadece AxB = 0 ise

gösteri

A veya B'nin null vektör olması durumunda, AxB = 0 olduğu izlenir. Sıfır vektör başka bir vektöre paralel olduğu için özellik geçerli olur.

İki vektörden hiçbiri sıfır vektör değilse, onların büyüklüklerinin sıfırdan farklı olduğunu; yani, her ikisi de || A || ≠ || as || ≠ 0, yani || AxB || = 0 ise ve eğer sadece sin (Θ) = 0 ise ve bu ise ve eğer sadece Θ = π veya Θ = 0 ise.

Bu nedenle, sadece iki vektör birbirine paralel olduğunda gerçekleşen ve eğer sadece Θ = π veya Θ = 0 ise AxB = 0 sonucuna varabiliriz..

Gayrimenkul 8

A ve B, R’de iki vektör ise3, o zaman AxB hem A hem de B'ye diktir..

gösteri

Bu gösterim için, eğer A ∙ B sıfıra eşitse, iki vektörün dik olduğunu unutmayın. Ayrıca şunu biliyoruz:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, ancak AxA 0'a eşittir. Bu nedenle:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Bununla A ve AxB'nin birbirine dik olduğu sonucuna varabiliriz. Benzer bir şekilde, biz zorundayız:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

BxB = 0 olarak:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Bu nedenle, AxB ve B birbirlerine diktir ve bununla özellik gösterilmiştir. Bu çok faydalı, çünkü bir uçağın denklemini belirlememize izin veriyorlar..

Örnek 1

P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) ve R (2, 1, 3) noktalarından geçen düzlemin bir denklemini alın..

A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) ve B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Sonra A = - i + 3j + k ve B = i - 2j + k. Bu üç noktadan oluşan düzlemi bulmak için, düzlem için normal olan AxB olan bir vektör bulmak yeterlidir..

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Bu vektörle ve P (1, 3, 2) puanını alarak, düzlemin denklemini şu şekilde belirleyebiliriz:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Böylece uçağın denkleminin 5x + 2y - z - 9 = 0 olduğunu biliyoruz..

Örnek 2

P (4, 0, - 2) noktasını içeren ve her x düzlemine dik olan düzlemin denklemini bulun - x - y + z = 0 ve 2x + y - 4z - 5 = 0 .

+ + İle cz + d = 0 düzlemine normal bir vektörün (a, b, c) olduğunu bilerek, bizde (1, -1,1) normal bir x - y + z = 0 y vektörü ( 2.1, - 4) normalde 2x + y - 4z - 5 = 0 vektörüdür.

Bu nedenle, istenen düzlem için normal bir vektör (1, -1,1) ve a (2, 1, - 4) dikey olmalıdır. Bahsedilen vektör:

(1, -1,1) x (2,1, -4) = 3i + 6j + 3k.

Daha sonra aranan düzlemin P (4,0, - 2) noktasını içeren ve normal bir vektör olarak vektöre (3,6,3) sahip olduğunu gördük..

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

uygulamaları

Paralel bir bölmenin hacminin hesaplanması

Üçlü skaler ürüne sahip bir uygulama, şekilde gösterildiği gibi, kenarları A, B ve C vektörleri ile verilen bir paralel bölmenin hacmini hesaplayabilmektedir:

Bu uygulamayı şu şekilde saptayabiliriz: daha önce de söylediğimiz gibi, AxB vektörü A ve B düzlemine normal olan bir vektördür. Ayrıca - - (AxB) vektörünün söz konusu düzlem için normal olan başka bir vektör olduğunu.

C vektörüyle en küçük açıyı oluşturan normal vektörü seçiyoruz; genelliği kaybetmeden, AxB'nin C ile açısı en küçük olan vektör olmasına izin verin..

Hem AxB hem de C aynı başlangıç ​​noktasına sahip olduk. Ek olarak, paralel bölmenin tabanını oluşturan paralelkenarın alanının || AxB || olduğunu biliyoruz. Bu nedenle, paralelepip'in yüksekliği h ile verilirse, hacminin aşağıdaki gibi olacağına sahibiz:

V = || AxB || s.

Öte yandan, AxB ve C arasındaki skaler ürünü aşağıdaki gibi tanımlanabilir:

Bununla birlikte, trigonometrik özelliklere göre şu h = || C || cos (Θ) değerine sahibiz, bu nedenle:

Bu şekilde:

Genel anlamda, bir paralel bölmenin hacminin üçlü skaler ürün AxB ∙ C'nin mutlak değeri ile verildiğini biliyoruz..

Çözülmüş egzersizler

Egzersiz 1

P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) ve S = (2, 6, 9) puanları göz önüne alındığında, bu noktalar, kenarları paralel bir şekilde oluşturulmuş bunlar PQ, PR ve PS'dir. Bahsedilen paralel dağıtımın hacmini belirleme.

çözüm

Eğer alırsak:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Üçlü skaler ürünün özelliğini kullanarak şunları yapmalıyız:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Bu nedenle, söz konusu paralel bölmenin hacminin 52 olması.

Egzersiz 2

P, Q, R ve S noktalarının (1, 3, 4), (3, 5, 3) olduğu, kenarları A = PQ, B = PR ve C = PS ile verilen bir paralel bölmenin hacmini belirlemek (2, 1, 6) ve (2, 2, 5), sırasıyla.

çözüm

İlk önce A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1) var..

AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6) hesaplarız.

Sonra AxB ∙ C'yi hesaplıyoruz:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Böylece, söz konusu paralel borunun hacminin 1 metreküp olduğu sonucuna vardık..

referanslar

  1. Leithold, L. (1992). Analitik Geometri ile HESAPLAMA. HARLA, S.A.
  2. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Fizik Cilt 1. Meksika: Kıta.
  3. Saenz, J. (s.f.). Vektörel Hesaplama 1ed. hipotenüs.
  4. Spiegel, M. R. (2011). Vektör Analizi 2ed. Mc Graw Hill.
  5. Zill, D. G., ve Wright, W. (2011). 4ed Çeşitli Değişkenlerin Hesabı. Mc Graw Hill.