Paralel karakteristikler, çeşitleri, alanları, hacimleri

bir paralelyüz altı yüzün oluşturduğu geometrik bir yapı olup, temel özelliği tüm yüzlerinin paralelkenar olması ve aynı zamanda zıt yüzlerinin birbirine paralel olmasıdır. Günlük yaşamımızda sık rastlanan bir polihedrondur, çünkü ayakkabı kutularında, bir tuğlada, bir mikrodalgada, vb..

Bir polihedron olan, paralel uçlu, sonlu bir hacmi çevreler ve bütün yüzleri düzdür. Tüm köşelerinin iki paralel düzlemde bulunduğu polyhedra olan prizma grubunun bir parçasıdır..

indeks

• Paralelyüzün 1 Elemanı
  • 1.1 Yüzler
  • 1.2 Kenarlar
  • 1.3 Vertex
  • 1.4 Diyagonal
  • 1.5 Merkezi
• Paralelepiped 2 Özellikleri
• 3 Türleri
  • 3.1 Köşegenlerin hesaplanması
• 4 alanı
  • 4.1 Bir ortohedronun alanı
  • 4.2 Bir küpün alanı
  • 4.3 Bir ormangülü alan
  • 4.4 Bir eşkenar dörtgenin alanı
• 5 Paralelyüzlü birimin hacmi
  • 5.1 Mükemmel paralel besleme
• 6 Bibliyografya

Paralel panelin Elemanları

Caras

Paralel uçları sınırlayan paralelkenarların oluşturduğu bölgelerin her biridir. Paralel yüzeyin altı yüzü vardır; burada her yüz dört bitişik yüze ve bir zıt yüzeye sahiptir. Ek olarak, her bir taraf diğer tarafa paraleldir.

Aristas

İki yüzün ortak yanıdır. Toplamda paralel bir uç on iki kenara sahiptir.

tepe

İki ya da iki birbirine bitişik üç yüzün ortak noktasıdır. Paralel metin sekiz köşeli.

diyagonal

Paralel bir yüzün iki karşıt tarafı göz önüne alındığında, bir yüzün tepe noktasından diğerinin tepe noktasına giden bir çizgi parçası çizebiliriz.

Bu bölüm, paralel bölmenin köşegeni olarak bilinir. Her paralepiped dört köşeli.

merkez

Tüm köşegenlerin kesiştiği nokta..

Paralel panelin özellikleri

Bahsettiğimiz gibi, bu geometrik gövdenin on iki kenarı, altı yüzü ve sekiz köşesi vardır.

Paralel bir uçta, birbirine paralel dört kenardan oluşan üç kümeyi tanımlayabilirsiniz. Ek olarak, bu setlerin kenarları aynı uzunluktaki özelliğe de sahiptir..

Paralel boruların sahip oldukları bir başka özellik, dışbükey olmalarıdır, yani paralelepipe ait iç kısımlara ait herhangi bir çift nokta ele alırsak, söz konusu nokta çifti tarafından belirlenen segment de paralel plakanın içinde olacaktır..

Ek olarak, dışbükey dışbükey polihedra olan paralelipitler, Euler'in polyhedra teoremine uygundur, bu da bize yüz sayısı, kenar sayısı ve köşe sayısı arasındaki ilişkiyi verir. Bu ilişki aşağıdaki denklem formunda verilir:

C + V = A + 2

Bu özellik Euler'in özelliği olarak bilinir.

C yüz sayısı, V köşe sayısı ve A kenar sayısı.

tip

Paralel parçaları, yüzlerine göre aşağıdaki türlerde sınıflandırabiliriz:

küboid

Yüzlerinin altı dikdörtgenden oluştuğu paraleliperlerdir. Her dikdörtgen kenar paylaştığımıza diktir. Günlük yaşamımızda en yaygın olanları, ayakkabı kutuları ve tuğlaların olağan şeklidir..

Küp veya normal altı yüzlü

Bu, önceki yüzeyin her birinin bir kare olduğu belirli bir durumdur..

Küp ayrıca platonik katı denilen geometrik gövdelerin bir parçasıdır. Platonik bir katı dışbükey bir polihedrondur, böylece hem yüzleri hem de iç açıları birbirine eşittir..

romboedro

Yüzünde elmas bulunan bir paralelliktir. Bu elmasların hepsi birbirine eşittir, çünkü kenarları paylaşırlar..

Romboiedro

Altı yüzü eşkenar dörtgendir. Bir eşkenar dörtgen, dört tarafı ve iki ila iki eşit dört açıları olan bir çokgen olduğunu hatırlayın. Eşkenar dörtgenler ne kare ne de dikdörtgen, ne eşkenar dörtgen olan paralelkenarlardır..

Öte yandan, eğik paralel yataklar, en az bir yüksekliğin kenarı ile aynı fikirde olmayanlarıdır. Bu sınıflandırmada eşkenar dörtgen ve eşkenar dörtgenleri içerebilir.

Köşegen hesaplama

Bir ortohedronun köşegenini hesaplamak için R için Pisagor Teoremini kullanabiliriz.³.

Bir ortohedronun, her bir tarafın kenarı paylaşan taraflara dik olma özelliğine sahip olduğunu hatırlayın. Bu durumdan, her kenarın tepe noktası paylaşanlara dik olduğunu tespit edebiliriz..

Bir ortohedronun köşegeninin uzunluğunu hesaplamak için şu şekilde ilerleriz:

1. Temel olarak koyacağımız yüzlerden birinin köşegenini hesaplıyoruz. Bunun için Pisagor teoremini kullanıyoruz. Bu köşegen adı d_b.

2. Sonra d ile_b yeni bir dik üçgen oluşturabiliriz, öyle ki söz konusu üçgenin hipotenüsü, diyagonal D aranan.

3. Pisagor teoremini tekrar kullanıyoruz ve bu köşegenin uzunluğunun şöyle olduğuna sahibiz:

Çaprazları daha grafik bir şekilde hesaplamanın bir başka yolu, serbest vektörlerin toplamıdır..

B vektörünün kuyruğunu A vektörünün ucuyla yerleştirerek iki serbest A ve B vektörünün eklendiğini hatırlayın.

Vektör (A + B), A'nın kuyruğunda başlayan ve B'nin ucunda bitendir..

Bir köşegen hesaplamak istediğimiz bir paralel bölmeyi düşünün.

Kenarları uygun yönelimli vektörlerle tanımlıyoruz.

Sonra bu vektörleri ekleriz ve sonuçta elde edilen vektör paralelepiplerin köşegeni olacaktır..

alan

Paralel bir bölge yüzlerinin her birinin toplamı tarafından verilir.

Taraflardan birini üs olarak belirlersek,

bir_L + 2A_B = Toplam Alan

Nerede bir_L yanal alan ve A olarak adlandırılan, tabana bitişik tüm tarafların alanlarının toplamına eşittir._B temel alan.

Çalıştığımız paralel tipin türüne bağlı olarak, söz konusu formülü yeniden yazabiliriz..

Bir ortohedronun alanı

Bu formül tarafından verilir

A = 2 (ab + bc + ca).

Örnek 1

Aşağıdaki ortohedron göz önüne alındığında, kenarları a = 6 cm, b = 8 cm ve c = 10 cm olacak şekilde paralel yüzün alanını ve köşegenin uzunluğunu hesaplayın.

Bir ortohedron alanı için formülü kullanmak zorundayız.

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cm².

Bir ortohedron olduğundan, dört köşegeninin herhangi birinin uzunluğu aynıdır..

Pisagor teoremini uzay için kullanmak

D = (6² + 8² + 10²)^1/2 = (36 + 64 + 100)^1/2 = (200)^1/2

Bir küpün alanı

Her kenar aynı uzunluğa sahip olduğundan, a = b ve a = c değerlerine sahibiz. Bir önceki formülde yerine geçen

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a²) = 6a²

A = 6a²

Örnek 2

Oyun konsolunun kutusu küp şeklindedir. Bu kutuyu hediye kağıdına sarmak istiyorsak, küpün kenarlarının uzunluğunun 45 cm olduğunu bilmek için ne kadar kağıt harcayacağız??

Küp alanı formülünü kullanarak bunu elde ediyoruz.

A = 6 (45 cm)² = 6 (2025 cm²= 12150 cm²

Bir rhombohedron alanı

Tüm yüzleri eşit olduğundan, onlardan birinin alanını hesaplamak ve altı ile çarpmak yeterlidir..

Elmasın köşegenini aşağıdaki formülle kullanarak hesaplayabiliriz.

bir_R, = (Dd) / 2

Bu formül kullanılarak, rhombohedronun toplam alanının

bir_T = 6 (Dd) / 2 = 3Bd.

Örnek 3

Aşağıdaki eşkenar dörtgenin yüzleri, köşegenleri D = 7 cm ve d = 4 cm olan bir eşkenar dörtgen tarafından oluşturulur. Alanınız olacak

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm².

Eşkenar dörtgen alanı

Bir eşkenar dörtgenin alanını hesaplamak için onu oluşturan eşkenar dörtgen alanını hesaplamamız gerekir. Paralel bağlantılar, karşı tarafların aynı alana sahip olma özelliğine uyması nedeniyle, tarafları üç çift halinde birleştirebiliriz..

Böylece bölgeniz orası olacak.

bir_T = 2b₁h₁ + 2b₂h₂ + 2b₃h₃

Nerede b_ben kenarlarla ilişkili tabanlar ve_ben bahsedilen bazlara karşılık gelen nispi yüksekliği.

Örnek 4

Aşağıdaki paralel kurguyu göz önünde bulundurun,

buradaki A tarafı ve A 'tarafı (karşıt tarafı) b = 10 tabanına ve h = 6 yüksekliğine sahiptir. İşaretli alan değeri

bir₁ = 2 (10) (6) = 120

B ve B 'b = 4 ve h = 6, sonra

bir₂ = 2 (4) (6) = 48

Ve C ve C 'b = 10 ve h = 5'tir, yani

bir₃ = 2 (10) (5) = 100

Sonunda, rhombohedron alanı

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Paralel uçlu birimin hacmi

Paralel uçlu birimin hacmini veren formül, söz konusu yüze karşılık gelen yükseklikle yüzlerinden birinin alanının ürünüdür..

V = A_Ch_C

Paralel metin türüne bağlı olarak, söz konusu formül basitleştirilebilir.

Bu nedenle, örneğin bir ortohedronun hacminin "

V = abc.

A, b ve c'nin ortohedron kenarlarının uzunluğunu temsil ettiği durumlarda.

Ve küpün özel durumunda

V = a³

Örnek 1

Çerez kutuları için üç farklı model vardır ve bu modellerden hangisinde daha fazla çerez saklayabileceğinizi, yani hangi kutuların en yüksek hacme sahip olduğunu bilmek istiyorsunuz..

Birincisi, kenarının uzunluğu = 10 cm olan bir küp.

Hacmi V = 1000 cm olacak³

İkincisi kenarları b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Bu nedenle hacmi V = 765 cm'dir³

Üçüncüsü e = 9 cm, f = 9 cm ve g = 13 cm

Ve hacmi V = 1053 cm³

Bu nedenle, en büyük hacimli kutu üçüncü.

Paralel bir bölmenin hacmini elde etmenin bir başka yöntemi, vektör cebirine başvurmaktır. Özellikle, üçlü skaler ürün.

Üçlü skaler ürüne sahip olan geometrik yorumlardan biri, kenarları başlangıç ​​noktasıyla aynı tepe noktasını paylaşan üç vektör olan paralelepiped'in hacmidir..

Bu yolla eğer bir paralel paketimiz varsa ve hacminin ne olduğunu bilmek istiyorsak, onu R'deki bir koordinat sisteminde göstermek yeterlidir.³ köşelerinden birini orijin ile eşleştirmek.

Daha sonra, şekilde gösterildiği gibi vektörlerle vektörden kökene uyan kenarları temsil ediyoruz..

Ve bu şekilde, söz konusu paralel besleme hacminin

V = | AxB ∙ C |

Veya eşit olarak hacim, kenar vektörlerinin bileşenleri tarafından oluşturulan 3 x 3 matrisin determinantıdır.

Örnek 2

R 'deki bir sonraki paralepipi temsil ederek³ onu belirleyen vektörlerin aşağıdaki olduğunu görebiliriz

u = (-1, -3.0), v = (5, 0, 0) ve w = (-0.25, -4, 4)

Üçlü skaler ürünü kullanarak

V = | (uxv) ∙ w |

uxv = (-1, -3.0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0.25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Bundan V = 60 sonucunu çıkardık

Şimdi, kenarları vektörler tarafından belirlenen R3'te aşağıdaki paralel uçları dikkate alın.

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) ve C = (3, 4, 4)

Belirleyicileri kullanmak bize

Bu nedenle, söz konusu paralel kapasitenin hacminin 112 olduğu.

Her ikisi de hacmi hesaplamanın eşdeğer yoludur.

Mükemmel paralelepiped

Euler'in tuğlası (veya Euler bloğu), hem kenarlarının uzunluğunun hem de yüzlerinin her birinin köşegenlerinin uzunluğunun tamsayı olması özelliğini sağlayan bir ortodron olarak bilinir..

Euler bu mülkü karşılayan ortohedronları inceleyen ilk bilim adamı olmasa da, onlar hakkında ilginç sonuçlar buldu..

Daha küçük Euler tuğla Paul Halcke tarafından keşfedilmiştir ve kenarlarının uzunluğu a = 44, b = 117 ve c = 240'dır..

Sayı teorisinde açık bir problem aşağıdaki gibidir

Mükemmel ortohedronlar var mı?

Şu anda, bu soruların cevaplanamaması nedeniyle, bu organların var olmadığını kanıtlamak mümkün olmadı, ancak hiçbiri bulunamadı.

Şimdiye kadar gösterilmiş olan şey, mükemmel paralelpiplerin var olduğu. İlk keşfedilen, 103, 106 ve 271 değerleridir..

kaynakça

1. Guy, R. (1981). Sayı teorisinde çözülmemiş problemler. kemer ayağı.
2. Landaverde, F. d. (1997). geometria. ilerleme.
3. Leithold, L. (1992). Analitik Geometri ile HESAPLAMA. HARLA, S.A.
4. Rendon, A. (2004). Teknik çizim: Çalışma kitabı 3 2. Bakalorya . Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Fizik Cilt 1. Meksika: Kıta.