Kısmi Kesirler Vakaları ve Örnekler

kısmi kesirler bunlar, paydanın lineer veya ikinci dereceden bir polinom olabileceği ve ek olarak bir miktar güce yükseltilebildiği polinomlar tarafından oluşturulan fraksiyonlardır. Bazen, rasyonel fonksiyonlarımız olduğunda, bu fonksiyonu kısmi kesirler veya basit kesirler toplamı olarak yeniden yazmak çok yararlıdır..

Bu böyledir, çünkü bu şekilde bu işlevleri daha iyi bir şekilde manipüle edebiliriz, özellikle de bu uygulamayı entegre etmenin gerekli olduğu durumlarda. Rasyonel bir fonksiyon, sadece iki polinom arasındaki bölümdür ve uygun veya uygunsuz olabilir.

Payın polinomunun derecesi, paydadan küçükse, buna rasyonel fonksiyon denir; Aksi takdirde uygunsuz bir rasyonel işlev olarak bilinir..

indeks

• 1 Tanım
• 2 Kılıf
  • 2.1 Durum 1
  • 2.2 Durum 2
  • 2.3 Durum 3
  • 2.4 Durum 4
• 3 Uygulamalar
  • 3.1 Kapsamlı hesaplama
  • 3.2 Kitle eylem yasası
  • 3.3 Diferansiyel denklemler: lojistik denklem
• 4 Kaynakça

tanım

Yanlış bir rasyonel fonksiyona sahip olduğumuzda, payın polinomunu payatörün polinomu arasına bölebilir ve böylelikle t (x) + s (x) / olarak bölüm algoritmasını izleyerek p (x) / q (x) fraksiyonunu yeniden yazabiliriz. q (x), ki burada t (x) bir polinomdur ve s (x) / q (x) kendine özgü bir rasyonel fonksiyondur.

Kısmi bir pay, paydası formda olan (ax + b) herhangi bir uygun polinom fonksiyonudur.ⁿ o (balta²+ bx + c)ⁿ, eğer polinom baltası² + bx + c gerçek köklere sahip değildir ve n doğal bir sayıdır.

Kısmi kesirlerde rasyonel bir işlevi yeniden yazmak için yapılacak ilk şey q (x) paydasını doğrusal ve / veya kuadratik faktörlerin bir ürünü olarak faktörlendirmektir. Bu yapıldıktan sonra, bahsedilen faktörlerin doğasına bağlı olarak kısmi kesirler belirlenir..

vakalar

Birkaç vakayı ayrı ayrı ele alıyoruz.

1. Durum

Q (x) faktörlerinin hepsi doğrusaldır ve hiçbiri tekrarlanmaz. Bu:

q (x) = (a₁x + b₁) (a₂x + b₂) ... (a_sx + b_s)

Orada hiçbir doğrusal faktör diğerinin aynısı değildir. Bu durum ortaya çıktığında şunu yazacağız:

p (x) / q (x) = A₁/ (a₁x + b₁) + A₂/ (a₂x + b₂) ... + A_s/ (a_sx + b_s).

Nerede bir₁,bir₂,..., A_s bulmak istediğiniz sabitler.

örnek

Rasyonel işlevi basit kesirlere ayırmak istiyoruz:

(x - 1) / (x³+3x²+2x)

Paydayı çarpanlara ayırmaya devam ediyoruz, yani:

x³ + 3x² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

o zaman:

(x - 1) / (x³+3x²+2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

En az ortak çoklu uygulayarak, şunları elde edebilirsiniz:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Her bir terimi iptal eden kökleri değiştirerek bulunabilecek A, B ve C sabitlerinin değerlerini elde etmek istiyoruz. X için 0 değiştirme:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

İkame - x için 1 sahibiz:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

İkame - 2 için x var:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (-2) + C (-2 + 1) (-2).

-3 = 2C

C = -3/2.

Bu şekilde, A = -1/2, B = 2 ve C = -3/2 değerleri elde edilir..

A, B ve C değerlerini elde etmek için başka bir yöntem daha vardır. Eğer denklemin sağ tarafında x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x terimleri birleştiriyoruz, biz:

x - 1 = (A + B + C) x² + (3A + 2B + C) x + 2A.

Bu, polinomların bir eşitliği olduğundan, sol tarafın katsayılarının sağ tarafınkine eşit olması gerektiğine sahibiz. Bu, aşağıdaki denklem sistemine neden olur:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = -1

Bu denklem sistemini çözerken, A = -1/2, B = 2 ve C = -3/2 sonuçlarını elde ediyoruz..

Son olarak, elde edilen değerleri değiştirerek yapmamız gereken:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = -1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Durum 2

Q (x) faktörlerinin hepsi doğrusaldır ve bazıları tekrarlanır. Diyelim ki (ax + b) "s" kez tekrarlanan bir faktördür; o zaman, bu faktöre "s" kısmi kesirlerin toplamı karşılık gelir..

bir_s/ (balta + b)^s + bir_s-1/ (balta + b)^s-1 +... + A₁/ (balta + b).

Nerede_s,bir_s-1,..., A₁ belirlenecek sabitler. Aşağıdaki örnekte bu sabitlerin nasıl belirleneceğini göstereceğiz..

örnek

Kısmi fraksiyonlara ayrıştırın:

(x - 1) / (x²(x - 2)³)

Rasyonel işlevi kısmi kesirlerin toplamı olarak şöyle yazıyoruz:

(x - 1) / (x²(x - 2)³) = A / x² + B / x + C / (x - 2)³ + D / (x - 2)² + E / (x - 2).

o zaman:

x - 1 = A (x - 2)³ + B (x - 2)³x + Cx² + D (x - 2) x² + E (x - 2)²x²

X için 2 yerine geçmesi gerekir:

7 = 4C, yani, C = 7/4.

X için 0 değiştirme:

- 1 = -8A veya A = 1/8.

Bu değerleri önceki denklemde değiştirerek ve geliştirirken, şunları yapmalıyız:

x - 1 = 1/8 (x³ - 6x² + 12x - 8) + Bx (x³ - 6x² + 12x - 8) + 7 / 4x² +dx³ - 2DX² + eski²(x² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x² +(3/2 - 8B) x - 1.

Katsayıları eşleştirerek, aşağıdaki denklem sistemlerini elde ediyoruz:

B + E = 0;

1/8 - 6B + D - 4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Sistemi çözerek, biz var:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Bu nedenle, biz yapmak zorundayız:

(x - 1) / (x²(x - 2)³) = (1/8) / x² + (3/16) / x + (7/4) / (x2)³ + (5/4) / (x2)² - (3/16) / (x2).

3. Durum

Q (x) faktörleri, herhangi bir ikinci dereceden faktör tekrar edilmeden ikinci dereceden doğrusaldır. Bu durumda ikinci dereceden faktör (ax² + bx + c) kısmi kısma karşılık gelir (Ax + B) / (ax)² + bx + c) A ve B sabitlerini belirlemek istediğiniz yerlerin.

Aşağıdaki örnek, bu durumda nasıl ilerleyeceğinizi göstermektedir

örnek

Basit fraksiyonlara ayrıştırma a (x + 1) / (x³ - 1).

İlk önce bize sonuç veren paydayı etkilemeye devam edelim:

(x - 1) = (x - 1) (x + x + 1).

Bunu görebiliriz (x² + x + 1) indirgenemez bir ikinci dereceden polinom; yani, gerçek kökleri yoktur. Kısmi fraksiyonlara ayrışması aşağıdaki gibi olacaktır:

(x + 1) / (x - 1) (x² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x² + x +1)

Bundan, aşağıdaki denklemi elde ederiz:

x + 1 = (A + B) x² +(A - B + C) x + (A - C)

Polinomların eşitliği kullanılarak aşağıdaki sistemi elde ediyoruz:

A + B = 0;

A - B + C = 1;

A - C = 1;

Bu sistemden A = 2/3, B = - 2/3 ve C = 1/3 sahibiz. Yerine, biz zorundayız:

(x + 1) / (x - 1) (x² + x + 1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x² + x +1).

4. Durum

Son olarak, durum 4, q (x) faktörlerinin doğrusal ve ikinci dereceden olduğu, bazı doğrusal ikinci dereceden faktörlerin tekrarlandığı bir durumdur..

Bu durumda, evet (balta² + bx + c) "s" kez tekrarlanan ikinci dereceden bir faktördür, daha sonra faktöre (balta) karşılık gelen kısmi kesirdir.² + bx + c):

(A₁x + B) / (balta² + bx + c) + ... + (A_s-1x + B_s-1) / (balta)² + bx + c)^s-1 + (A_sx + B_s) / (balta)² + bx + c)^s

Nerede_s, bir_s-1,..., A ve B_s, B_s-1,..., B belirlemek istediğiniz sabitler.

örnek

Aşağıdaki rasyonel işlevi kısmi kesirlere ayırmak istiyoruz:

(x - 2) / (x (x² - 4x + 5)²)

X gibi² - 4x + 5, indirgenemez bir kuadratik faktördür, kısmi kesirlere ayrışmasının aşağıdakiler tarafından verildiğini belirledik:

(x - 2) / (x (x² - 4x + 5)²) = A / x + (Bx + C) / (x² - 4x +5) + (Dx + E) / (x² - 4x + 5)²

Sadeleştirme ve geliştirme, biz var:

x - 2 = A (x² - 4x + 5)² + (Bx + C) (x² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x⁴ + (- 8A - 4B + C) x³ + (26A + 5B - 4C + D) x² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Yukarıdakilerden, aşağıdaki denklem sistemlerine sahibiz:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Sistemi çözerken yapmamız gerekenler:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 ve E = -3/5.

Elde edilen değerleri değiştirirken aşağıdakilere sahibiz:

(x - 2) / (x (x² - 4x + 5)²) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x² - 4x + 5)²

uygulamaları

Kapsamlı hesaplama

Kısmi kesirler esas olarak integral hesabın çalışmasında kullanılır. Aşağıda kısmi kesirler kullanarak nasıl integral yapılacağına dair bazı örnekler göreceğiz..

Örnek 1

İntegralini hesaplamak istiyoruz:

Payda q (x) = (t + 2) olduğunu görüyoruz.²(t + 1) bu tekrarlardan birinin tekrar ettiği doğrusal faktörlerden oluşur; bunun için biz durum 2.

Yapmamız gereken:

1 / (t + 2)²(t + 1) = A / (t + 2)² +B / (t + 2) + C / (t + 1)

Denklemi tekrar yazıyoruz ve bizde:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)²

Eğer t = - 1 ise:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

T = - 2 ise bize verir:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Sonra eğer t = 0 ise:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

A ve C değerlerini değiştirerek:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = -2

Yukarıdakilerden B = - 1 aldık..

İntegrali şu şekilde yeniden yazarız:

İkame yöntemi ile çözmeye devam ediyoruz:

Bu sonuçlanır:

Örnek 2

Aşağıdaki integrali çözün:

Bu durumda q (x) = x faktörü olabiliriz² - 4 olarak q (x) = (x - 2) (x + 2). Açıkçası durum 1’de durumdayız. Bu nedenle:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Ayrıca şu şekilde de ifade edilebilir:

5x2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Eğer x = -2 ise, biz:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

Ve eğer x = 2 ise:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Böylece verilen integrali çözmek zorundayız çözmek için eşdeğerdir:

Bu bize sonuç olarak verir:

Örnek 3

İntegrali çözün:

Q (x) = 9x değerine sahibiz⁴ + x² , q (x) = x olarak faktör yapabileceğimizi²(9x² + 1).

Bu vesileyle, tekrarlanan bir doğrusal faktöre ve ikinci dereceden bir faktöre sahibiz; yani biz 3 durumundayız.

Yapmamız gereken:

1 / x²(9x² + 1) = A / x² + B / x + (Cx + D) / (9x² + 1)

1 = A (9x² + 1) + Bx (9x² + 1) + Cx² + dx²

Polinomların eşitliğini gruplandırmak ve kullanmak:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Bu denklem sisteminden şunları yapmak zorundayız:

D = - 9 ve C = 0

Bu şekilde, biz var:

Yukarıdakileri çözerek, biz var:

Kitle eylem kanunu

İntegral hesabına uygulanan kısmi kesirlerin ilginç bir uygulaması kimyada, daha doğrusu kütle eylemi yasasında bulunur..

Diyelim ki bir araya gelip bir C maddesi oluşturan iki maddeye, A ve B sahip olduğumuzu varsayalım, böylece zamana göre C miktarının türevi herhangi bir anda A ve B miktarlarının ürünü ile orantılı olur..

Kitlesel eylem yasasını şu şekilde ifade edebiliriz:

Bu ifadede a, A'ya karşılık gelen ilk gram miktarıdır ve β B'ye karşılık gelen ilk gram miktarıdır..

Ek olarak, r ve s, sırasıyla C ve r + s gramlarını oluşturmak için bir araya gelen A ve B gram sayısını temsil eder. X için, t zamanındaki x, C maddesinin gram sayısını temsil eder. orantılılık sabiti. Yukarıdaki denklem şu şekilde yazılabilir:

Aşağıdaki değişikliği yapmak:

Denklemin şu hale geldiğini gördük:

Bu ifadeden elde edebileceğimiz şeyler:

Evet a ≠ b ise, kısmi kesirler entegrasyon için kullanılabilir..

örnek

Örneğin, bir maddenin A ile B'yi birleştirmesinden kaynaklanan, C ve A ve B değerlerinin sırasıyla 8 ve 6 olduğu yerlerde kütle yasasına uyulduğu şekilde bir madde alın. Zamanın bir fonksiyonu olarak bize C gramının değerini veren bir denklem verin.

Verilen kitle hukukundaki değerleri değiştirerek, biz var:

Değişkenleri ayırırken aşağıdakilere sahibiz:

Burada 1 / (8 - x) (6 - x) kısmi kesirlerin toplamı olarak şu şekilde yazılabilir:

Böylece, 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

6'yı x yerine koyarsak, B = 1/2; ve 8 yerine x yerine, A = - 1/2.

Kısmi kesirlerle entegrasyonumuz:

Bu bize sonuç olarak verir:

Diferansiyel denklemler: lojistik denklem

Kısmi kesirlere verilebilecek başka bir uygulama lojistik diferansiyel denklemindedir. Basit modellerde, bir popülasyonun büyüme hızının büyüklüğüyle orantılı olduğunu; bu:

Bu durum idealdir ve bir sistemde mevcut kaynakların nüfusu korumak için yetersiz kalmasına kadar gerçekçi olarak kabul edilir..

Bu durumlarda L olarak adlandıracağımız, sistemin sürdürebildiği ve büyüme oranının mevcut büyüklükle çarpılan nüfusun büyüklüğü ile orantılı olduğunu düşünmek için daha makul bir kapasite olduğunu düşünmek daha makul olacaktır. Bu argüman aşağıdaki diferansiyel denklemlere yol açar:

Bu ifadeye lojistik diferansiyel denklem denir. Kısmi kesirler ile entegrasyon yöntemi ile çözülebilen ayrılabilir bir diferansiyel denklemdir..

örnek

Bir örnek, aşağıdaki lojistik diferansiyel denklemine göre büyüyen bir popülasyonu dikkate almak olacaktır; y '= 0.0004y (1000 - y), başlangıç ​​verileri 400'dür. yıllar içinde.

Bir ve 'Leibniz notasyonu ile t'ye bağlı bir fonksiyon olarak yazarsak, şunları yapmalıyız:

Sol tarafın integrali, kısmi kesirler ile entegrasyon yöntemi kullanılarak çözülebilir:

Bu son eşitlik aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

- Y = 0 değiştirildiğinde A değerinin 1/1000 eşittir.

- Y = 1000 yerine B'nin 1 / 1000'e eşit olduğunu söyleriz..

Bu değerlerle integral aşağıdaki gibi bırakılır:

Çözüm:

İlk verilerin kullanılması:

Temizlerken ve ayrıldık:

O zaman elimizde t = 2 olur:

Sonuç olarak, 2 yıl sonra nüfus büyüklüğü yaklaşık 597,37'dir..

referanslar

1. A, R.A. (2012). Matematik 1. Andes Üniversitesi. Yayınlar Konseyi.
2. Cortez, I., ve Sanchez, C. (s.f.). 801 çözülmüş integral. Tachira Ulusal Deneysel Üniversitesi.
3. Leithold, L. (1992). Analitik Geometri ile HESAPLAMA. HARLA, S.A.
4. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). hesaplama. Meksika: Pearson Eğitimi.
5. Saenz, J. (s.f.). Kapsamlı Matematik. hipotenüs.