Diferansiyel Kullanılarak Yaklaşımların Hesaplanması

Matematikteki bir yaklaşım, bir şeyin kesin değeri olmayan bir sayıdır, fakat o kadar yakındır ki, o kesin değer kadar faydalı olduğu kabul edilir..

Matematikte yaklaşımlar yapıldığında, bunun ne istendiğinin kesin değerini bilmek zordur (veya bazen imkansızdır)..

Yaklaşımlarla çalışırken ana araç, bir fonksiyonun diferansiyelliğidir..

F (x) ile gösterilen bir f fonksiyonunun diferansiyel, bağımsız değişkendeki değişiklik ile çarpılan f fonksiyonunun türevinden başka bir şey değildir, yani, thatf (x) = f '(x) * Δx.

Bazen Δf ve Δx yerine df ve dx kullanılır..

Diferansiyel yaklaşımlar

Diferansiyel aracılığıyla bir yaklaşım oluşturmak için uygulanan formül tam olarak bir fonksiyonun türevinin bir limit olarak tanımlanmasından kaynaklanır..

Bu formül aşağıdakiler tarafından verilmektedir:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Burada Δx = x-x0, dolayısıyla x = x0 + Δx olduğu anlaşılmaktadır. Bunu kullanarak formül şu şekilde yazılabilir:

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

"X0" ın isteğe bağlı bir değer olmadığı, f (x0) 'ın kolayca bilindiği bir değer olduğu unutulmamalıdır; Ek olarak, "f (x)" sadece yaklaştırmak istediğimiz değerdir.

Daha iyi yaklaşımlar var mı?

Cevap evet. Birincisi "doğrusal yaklaşım" olarak adlandırılan yaklaşımların en basitidir..

Daha iyi kalite yaklaşımları için (hata daha küçüktür) "Taylor polinomları" adı verilen daha fazla türevli polinomlar ve diğerleri arasında Newton-Raphson metodu gibi diğer sayısal yöntemler kullanılır..

strateji

İzlenecek strateji:

- Yaklaştırmayı gerçekleştirmek için uygun bir f işlevi seçin ve "x" değeri, f (x) yaklaşık olarak belirlemek istediğiniz değerdir..

- F (x0) 'ın hesaplanması kolay olacak şekilde "x"' e yakın bir "x0" değeri seçin.

- Hesapla Δx = x-x0.

- Fonksiyonun türevini hesaplayın ve f '(x0).

- Formül içindeki verileri değiştirin..

Çözülmüş yaklaşım alıştırmaları

Devam eden şeyde, diferansiyelleri kullanarak yaklaşımların yapıldığı bir dizi alıştırma vardır..

İlk egzersiz

Yaklaşık √3.

çözüm

Stratejinin ardından uygun bir işlev seçilmelidir. Bu durumda, seçilen işlevin f (x) = √x olması ve yaklaşık değerin f (3) = √3 olması gerektiği görülebilir..

Şimdi "3" 'e yakın bir "x0" değeri seçmeliyiz, böylece f (x0)' ı hesaplamak kolaydır. Eğer "x0 = 2" seçerseniz, "x0" "3" e yakındır ancak f (x0) = f (2) = √2 'nin hesaplanması kolay değildir.

Uygun olan "x0" değeri "4" dür, çünkü "4" "3" e yakındır ve ayrıca f (x0) = f (4) = √4 = 2.

"X = 3" ve "x0 = 4" ise, Δx = 3-4 = -1 olur. Şimdi f türevini hesaplamaya devam ediyoruz. Yani, f '(x) = 1/2 * √x, öyle ki f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Aldığınız formüldeki tüm değerleri değiştirerek:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75.

Hesap makinesi kullanılırsa, √3≈1.73205 ... elde edilir. Bu önceki sonucun gerçek değerin iyi bir tahmini olduğunu gösterir..

İkinci alıştırma

Yaklaşık √10.

çözüm

Önceden olduğu gibi işlev olarak seçilir f (x) = √x ve bu durumda x = 10.

Bu fırsatta seçilmesi gereken x0 değeri "x0 = 9" dır. Daha sonra Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 ve f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6 olduk..

Formülde değerlendirirken bunu alırsınız

√10 = f (10) 5 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ...

Bir hesap makinesi kullanarak, √10 ≈ 3,1622776 ... elde edersiniz ... Burada daha önce iyi bir yaklaşımın elde edildiğini de görebilirsiniz..

Üçüncü egzersiz

Yaklaşık ³√10, burada ³√ kübik kökü gösterir.

çözüm

Açıkçası bu alıştırmada kullanılması gereken işlev f (x) = ³√x ve "x" değerinin "10" olması gerekir.

"10" değerine yakın bir değer, öyle ki küp kökü bilinir "x0 = 8". Öyleyse Δx = 10-8 = 2 ve f (x0) = f (8) = 2 olur. Ayrıca f '(x) = 1/3 * ³√x² ve sonuçta f' (8) = 1/3 * ²8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Formül içindeki verileri değiştirerek, şöyle elde edilir:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666 ... .

Hesap makinesi ³√10 ≈ 2,15443469 olduğunu söylüyor ... Bu nedenle, bulunan yaklaşık değer iyidir.

Dördüncü egzersiz

Yaklaşık ln (1.3), burada "ln" doğal logaritma işlevini belirtir.

çözüm

İlk olarak, f (x) = ln (x) işlevi seçilir ve "x" değeri 1.3'tür. Şimdi, logaritma fonksiyonu hakkında biraz bilgi sahibi olduğumuzda, ln (1) = 0 olduğunu ve ayrıca "1" in "1.3" e yakın olduğunu biliyoruz. Bu nedenle, "x0 = 1" seçili ve Δx = 1.3 - 1 = 0.3.

Öte yandan f '(x) = 1 / x, böylece f' (1) = 1 olur. Verilen formülde değerlendirirken:

1 (1.3) = f (1.3) 0 + 1 * 0.3 = 0.3.

Bir hesap makinesi kullanırken, ln (1.3) ≈ 0.262364 değerine sahip olmalısınız ... Yani yapılan yaklaşım iyidir.

referanslar

1. Fleming, W. ve Varberg, D. E. (1989). Prekalsülüs Matematiği. Prentice Salonu PTR.
2. Fleming, W. ve Varberg, D. E. (1989). Prekalsülüs matematiği: problem çözme yaklaşımı (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Salonu.
3. Fleming, W. ve Varberg, D. (1991). Analitik geometri ile cebir ve trigonometri. Pearson Eğitimi.
4. Larson, R. (2010). Kalkülüse (8 ed.). Cengage Öğrenme.
5. Leal, J.M. & Viloria, N.G. (2005). Düz Analitik Geometri. Mérida - Venezuela: Editör Venezolana C. A.
6. Pérez, C.D. (2006). precalculus. Pearson Eğitimi.
7. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). hesaplama (Dokuzuncu basım). Prentice Salonu.
8. Saenz, J. (2005). Bilim ve Mühendislik için erken aşkın fonksiyonlara sahip diferansiyel matematik (İkinci Baskı ed.). hipotenüs.
9. Scott, C.A. (2009). Kartezyen Düzlemi Geometrisi, Bölüm: Analitik Konikler (1907) (yeniden basım.). Yıldırım Kaynağı.
10. Sullivan, M. (1997). precalculus. Pearson Eğitimi.