Vektör nedir ve özellikleri nelerdir?



bir vektör iki bağımsız özelliğe sahip bir nicelik veya fenomendir: büyüklük ve yön. Terim ayrıca böyle bir miktarın matematiksel veya geometrik gösterimini ifade eder..

Doğadaki vektör örnekleri hız, kuvvet, elektromanyetik alanlar ve ağırlıktır. Spesifik bir yönü olmayan, sadece büyüklüğü gösteren bir miktara veya olguya skaler denir..

Skaler örnekleri hız, kütle, elektriksel direnç ve sabit disk depolama kapasitesini içerir.

Vektörler, grafiksel olarak iki veya üç boyutta gösterilebilir. Büyüklüğü bir segmentin uzunluğu olarak gösterilir. Yön, bölümün oryantasyonu ile ve bir uçtaki bir okla gösterilir..

Yukarıdaki resimde iki boyutlu dikdörtgen koordinatlarda (Kartezyen düzlemi) üç vektör ve kutupsal koordinatlarda eşdeğerleri gösterilmektedir..

Fizikte vektörler

Fizikte, bir vektörünüz olduğunda, iki büyüklüğü göz önünde bulundurmalısınız: yönü ve büyüklüğü. Sadece bir büyüklüğe sahip olan miktarlara skaler denir. Eğer bir skaler miktara bir yön verilirse, bir vektör yaratılır.

Görsel olarak, okların çizilen vektörleri görüyorsunuz, bu mükemmeldir, çünkü bir okun net bir yönü ve net bir büyüklüğü vardır (okun uzunluğu).

Aşağıdaki şekilde, ok, okun dibinde başlayan (aynı zamanda kuyruk olarak da adlandırılır) bir kafa gösterir ve kafada biter.

Fizikte, bir vektörü temsil etmek için genellikle koyu harf kullanılır, bununla birlikte üzerinde ok olan bir harf olarak da gösterilebilir..

Ok, bunun sadece A ile temsil edilecek olan skaler bir değer değil, aynı zamanda yönelimli bir şey olduğu anlamına gelir..

Vektör ve skaler arasındaki farklar

Vektör olmayan değerler skalerdir. Örneğin, 500 elma gibi bir miktar skalerdir, adresi yoktur, sadece büyüklüğüdür. Zaman da skalerdir, yönü yoktur.

Bununla birlikte, hız bir vektördür, çünkü sadece rotanın büyüklüğünü (hızını) belirtmez, ayrıca rotanın yönünü (ve yönünü) de gösterir..

Örneğin, hız vektörünün hareket hattı

yataydan 30 ° olabilir. Dolayısıyla nesnenin hangi yönde hareket ettiğini biliyoruz..

Ancak, bu yine de bize uzaklaştığı veya bize yaklaşıp yaklaşmadığı, seyahatin yönünü belirtmiyor. Bu nedenle, vektörün ok ucu boyunca hareket ettiği yönü de belirleriz.

Kuvvet, hızlanma ve kat edilen mesafe de vektörlerdir. Örneğin, bir arabanın 10 metre hareket ettiğini söylemek, hangi yöne hareket ettiğini göstermez. Hareketi tamamen belirtmek için, hareketin yönünü ve yönünü de belirtmek gerekir..

Güç, aynı zamanda bir vektördür çünkü bir nesneyi kendinize doğru çekerseniz, size yaklaşır ve nesneyi kendinizden uzağa iterseniz. Yani kuvvetin bir yönü ve duygusu vardır ve bu nedenle, bu bir vektördür.

örnek

Bir vektörün sağladığı bilgilerin örnekleri olarak, aşağıdakilere sahibiz:

Altın bir çanta ara

Bir öğretmenin size söylediğini varsayalım: "Bulmak için 20 metre hareket ettirmek için sınıfın dışında bir altın çantası var." Bu ifade kesinlikle ilginizi çekecektir, ancak deklarasyonda altın çantayı bulmak için yeterli bilgi yok..

Altın çantayı bulmak için gereken yer değiştirme tam olarak tanımlanmamıştır. Öte yandan, öğretmeninizin size söylediğini varsayalım: "Sınıfın dışından 20 metreye kadar 20 metrelik bir sınıfın ortasından kuzeye doğru ilerlemek için sınıfın dışında bir altın torbası var" diyor..

Bu ifade şimdi referans veya kalkış pozisyonuna (sınıf kapının merkezi) göre büyüklüğü (20 metre) ve yönü (kuzeyin 30 ° batısında) listeleyen yer değiştirme vektörünün tam bir tanımını sunar. ).

Hem büyüklük hem de yön belirtilmediği sürece vektör miktarları tam olarak tanımlanmamıştır..

Araba yer değiştirme

Bir arabada hareket ettiğimizde farklı vektörler kullanırız. Bu vektörler, hızı her değiştirdiğimizde ortaya çıkıyor.

Başka bir arabayı sollamak için hızlandırdığımızda, yeni bir vektör oluşturan yön ve hız değişkenlerini ekliyoruz.

Öte yandan, hızı azaltmak istediğimizde, söz konusu yavaşlamaya karşılık gelen vektörleri çıkarıyoruz..

Başka bir anlamda, hızı değiştirmeden geri döndüğümüzde, duyguyu arabanın hareketinden çıkan vektöre göre değiştiriyoruz..

Bir kapı aç

Bir kapı açtığımızda birkaç vektör kullanıyoruz. Öncelikle, kapının düğmesini çevirmek için belirli bir yönde bir kuvvet basmalıyız, sonra kapıyı belirli bir yönde itmeli, bir kuvvet basmalıyız.

Bu kuvvet ve yön değerleri, bir kapı açmak için kullanılan vektörlere karşılık gelir. Bir kapıyı kapatma işlemi, başlangıçta onu açmak için verilen ile ilgili olarak değerinin negatif olacağı yeni bir vektör üretecektir..

Bir kutu taşı

Çok ağır olan bir kutu itmek istediğimizde, yanal yüzeyine bir kuvvet uygulamalıyız. Bu kuvvet tek yönde uygulanmalıdır, böylece kutu hareket edebilir.

Bu durumda, vektör, kutuyu hareket ettirmek için uygulanan kuvvet ve yön kombinasyonundan kaynaklanır..

Kuvveti kutuyu itmek için kullanmadığında, dikey olarak kaldırmak için kullanıldığında, yeni bir vektör görünecektir..

Bu vektör, kutunun kaldırıldığı dikey eksenden ve kaldırmak için uygulanan kuvvetten oluşacaktır..

Bir satranç taşı taşı

Önceki örnekte olduğu gibi, bir satranç yongası masanın yüzeyinde - belirli bir yöne ve belirli bir kuvveti uygulayarak - tahtadaki konumunu değiştirmek için bir vektör oluşturarak hareket ettirilebilir.

Aynı zamanda tahtadan kaldırılabilir ve dikey olarak yeni bir vektör oluşturur.

Bir düğmeye basın

Bir butona, butonu içeren aynı sistem tarafından verilen sadece bir yönde basılacaktır..

Bu düğmeye basmak için parmağınızla kuvvet uygulamak gerekir. Bu hareketin kullanılmasından bir vektör ortaya çıkacak.

Bilardo oynamak

Ahşap işaret ile bilardo topuna vurma hareketi hemen iki vektörün etkisine sahip olduğundan bir vektöre yol açar: kuvvet ve yön.

Bilardo topuna belirli bir yönde hareket ettirmek için bir kuvvet uygulanacaktır. Masanın üzerindeki bilardo topunun, oyuncunun kararına bağlı olacak önceden belirlenmiş bir anlamı olacaktır..

Oyuncak araba çekerek

Bir çocuk oyuncak arabasını alıp bir iple çektiği veya basit bir şekilde elleriyle değiştirdiği zaman sayısız vektör üretecektir..

Çocuk, aracın hareket ettiği hızı veya yönünü her değiştirdiğinde, yeni bir vektör yaratacaktır..

Bu durumda vektörün değişkenleri, çocuğun arabaya uyguladığı enerjiden ve onu taşımak istediği yönden oluşacaktır..

Vektörlerin gösterimi

Vektör miktarları genellikle ölçeklendirilmiş vektör diyagramları ile temsil edilir.

Vektör diyagramları, belirli bir yöne ölçeklendirmek için çizilmiş bir ok kullanarak bir vektörü temsil eder. Uygun bir vektör diyagramı çeşitli özelliklere sahip olmalıdır:

  • Bir ölçek açıkça listelenir.
  • Bir vektör oku (ok başı ile) belirli bir yönde çizilir. Vector okunun başı ve kuyruğu vardır..
  • Vektörün büyüklüğü ve yönü açıkça etiketlenir.

Bir vektörün adresi

Vektörler doğu, batı, güney ve kuzeye yönlendirilebilir. Ancak bazı vektörler kuzeydoğuya doğru yönlendirilir (45 ° açıyla). Bu nedenle, kuzeye, güneye, doğuya veya batıya bağlı olmayan bir vektörün yönünü belirlemeye açık bir ihtiyaç vardır..

Herhangi bir vektörün yönünü tanımlayan çeşitli sözleşmeler vardır, ancak bunlardan sadece ikisi aşağıda açıklanacaktır..

1-Bir vektörün yönü genellikle vektörün “kuyruğu” etrafında doğu, batı, kuzey veya güney yönünde bir dönme açısı olarak ifade edilir..

Örneğin, bir vektörün batıdan 40 ° kuzeyde bir adrese sahip olduğu (yani batıya işaret eden bir vektörün kuzey yönüne 40 ° döndürüldüğü) veya 65 ° derece yönüne sahip olduğu söylenebilir. güneyin doğusundaki (yani güneyi işaret eden bir vektör 65 ° doğuya dönmüş demektir).

2-Bir vektörün yönü genellikle vektörün saat yönünün tersine bir dönüş açısı olarak ifade edilir. Bu kuralı kullanarak, 30 ° yönüne sahip bir vektör, doğuya göre saat yönünün tersine 30 ° döndürülmüş bir vektördür.

160 ° yönüne sahip bir vektör, doğuya göre saat yönünün tersine 160 ° döndürülmüş bir vektördür. 270 ° yönüne sahip bir vektör, doğuya göre saat yönünün tersine 270 ° döndürülmüş bir vektördür..

Bir vektörün büyüklüğü

Ölçekli bir vektör diyagramındaki bir vektörün büyüklüğü okun uzunluğu ile temsil edilir. Ok, seçilen ölçeğe göre doğru uzunlukta çizilir.

Örneğin, 20 metre büyüklüğünde bir vektör çizmek istiyorsanız, ölçek 1 cm = 5 metre olarak seçebilir ve 4 cm uzunluğunda bir ok çizebilirsiniz..

Aynı ölçeği kullanarak (1 cm = 5 metre), 15 metrelik bir yer değiştirme vektörü 3 cm uzunluğunda bir vektör okuyla gösterilecektir..

Aynı şekilde, 25 metrelik bir yer değiştirme vektörü 5 cm uzunluğunda bir okla temsil edilir. Ve son olarak, 18 metrelik bir yer değiştirme vektörü 3,6 cm uzunluğunda bir okla gösterilir..

Vektörlerin diğer özellikleri

eşitlikaynı büyüklük ve yöne sahiplerse iki vektörün eşit olduğu söylenir. Eşdeğer olarak, koordinatları eşitse, eşit olurlar..

muhalefet: iki vektör aynı büyüklükte fakat zıt yöne sahiplerse zıt.

Paralelos: iki vektör aynı yöne sahiplerse, ancak aynı büyüklükte olmadıklarında paraleldirler veya zıt yöne sahiplerse ancak aynı büyüklükte olmadıklarında antiparaleldirler..

Vektör birimi: bir birim vektör, uzunluğu bir olan herhangi bir vektördür.

Sıfır vektör: sıfır vektör sıfır uzunluğa sahip vektördür. Diğer vektörlerin aksine, keyfi veya belirsiz bir yöne sahiptir ve normalleştirilemez

referanslar

  1. Jong IC, Rogers BG. Mühendislik mekaniği: statik (1991). Saunders College Yayıncılık.
  2. Ito K. Ansiklopedik Matematik Sözlüğü (1993). MIT Press.
  3. Ivanov AB. Matematik Ansiklopedisi (2001). kemer ayağı.
  4. Kane, Levinson D. Dynamics Çevrimiçi (1996). Sunnyvale: OnLine Dinamiği.
  5. Lang S. Doğrusal cebire giriş (1986). kemer ayağı.
  6. Niku S. Mühendis olmayanlar için günlük yaşamda mühendislik prensipleri (2016). Morgan ve Claypool.
  7. Pedoe D. Geometry: kapsamlı bir kurs (1988). Dover.