Teknik sayma teknikleri, uygulamaları ve örnekleri

sayma teknikleri Bir kümedeki veya birkaç nesne kümesindeki olası düzenlemeleri saymak için bir dizi olasılık yöntemidir. Bunlar, çok sayıda nesne ve / veya değişken olması nedeniyle hesapları manuel olarak karmaşık hale getirirken kullanılır.

Örneğin, bu sorunun çözümü çok basit: Patronunuzun son bir saat içinde gelen son ürünleri saymanızı istediğini hayal edin. Bu durumda gidip ürünleri tek tek sayabilirsiniz.

Bununla birlikte, sorunun bu olduğunu hayal edin: Patronunuz, aynı saatteki 5 üründen kaç grubun son bir saat içinde gelenlerle oluşturulabileceğini saymanızı ister. Bu durumda, hesaplama karmaşıklaşır. Sözde sayma teknikleri bu tür durumlar için kullanılır..  

Bu teknikler çoktur, fakat en önemlisi çarpımsal ve katkı maddesi olan iki temel ilkeye bölünmüştür; permütasyonlar ve kombinasyonlar.

indeks

• 1 çarpım prensibi
  • 1.1 Uygulamalar
  • 1.2 Örnek
• 2 Katkı prensibi 
  • 2.1 Uygulamalar
  • 2.2 Örnek
• 3 Permütasyonlar
  • 3.1 Uygulamalar
  • 3.2 Örnek
• 4 Kombinasyonlar
  • 4.1 Uygulamalar
  • 4.2 Örnek
• 5 Kaynakça 

Çarpımcı prensip

uygulamaları

Çarpımsal prensip, katkı maddesi ile birlikte, sayma tekniklerinin çalışmasını anlamak için temeldir. Çarpımcı durumunda, aşağıdakilerden oluşur:

İlk adımın N1 formlarından, N2'nin ikinci adımından ve Nr formlarının "r" adımından yapılabildiği belirli sayıda adım (toplam "r" olarak işaretlenmiş) içeren bir aktivite düşünün. Bu durumda, etkinlik bu işlemden kaynaklanan form sayısından yapılabilir: N1 x N2 x ... .x Nr formları

Bu nedenle bu ilkeye çarpımsal denir ve bu faaliyeti gerçekleştirmek için gereken adımların her birinin birbiri ardına yapılması gerektiğini belirtir.. 

örnek

Bir okul inşa etmek isteyen birini hayal edelim. Bunu yapmak için, binanın tabanının çimento veya beton olmak üzere iki şekilde inşa edilebileceğini düşünün. Duvarlara gelince kerpiç, çimento veya tuğladan yapılabilirler..

Çatıya gelince çimento veya galvanizli sacdan yapılabilir. Son olarak, son resim yalnızca bir şekilde yapılabilir. Ortaya çıkan soru şudur: Okulun kaç yolu var??

Öncelikle, taban, duvarlar, çatı ve resim olacak basamak sayısını göz önünde bulunduruyoruz. Toplamda 4 adım, yani r = 4.

N listesi aşağıdadır:

N1 = tabanı oluşturmanın yolları = 2

N2 = duvarları inşa etmenin yolları = 3

N3 = çatı yapmanın yolları = 2

N4 = boya yapmanın yolları = 1

Bu nedenle, olası formların sayısı yukarıda açıklanan formülle hesaplanır:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 okulu tamamlamanın yolları.

Katkı prensibi

uygulamaları

Bu ilke çok basittir ve aynı faaliyeti gerçekleştirmek için mevcut çeşitli alternatifler söz konusu olduğunda, olası yollar tüm alternatifleri yapmak için farklı olası yolların toplamından oluşur..

Başka bir deyişle, ilk alternatifin M formunda, ikincisi N formunda ve sonuncunun W formunda yapılabileceği üç alternatifli bir aktivite yapmak istiyorsak, aktivite şu şekilde yapılabilir: M + N + ... + W formları.

örnek

Bu sefer bir tenis raketi almak isteyen birini hayal edin. Bunun için seçim yapabileceğiniz üç marka var: Wilson, Babolat veya Head.

Dükkana gittiğinde Wilson raketinin iki farklı boyda, L2 veya L3'ün dört farklı modelde alınabileceğini ve gergin veya telsiz olabileceğini görüyor..

Babolat raketi ise üç tutamağa (L1, L2 ve L3) sahiptir, iki farklı model vardır ve ayrıca gerilebilir veya telsiz olabilir..

Diğer yandan, Head raketi, iki farklı modelde ve sadece çekmeden sadece bir kulpla, L2 ile. Soru şudur: Bu kişinin raketini satın alması için kaç yol var??

M = Bir Wilson raketi seçmenin yol sayısı

N = Babolat raketi seçmenin yol sayısı

W = Kafa Raketini seçme yolu

Çarpan prensibini yaparız:

M = 2 x 4 x 2 = 16 form

N = 3 x 2 x 2 = 12 form

W = 1 x 2 x 1 = 2 formları

 M + N + W = 16 + 12 + 2 = Raket seçmenin 30 yolu.

Çarpıcı ilkeyi ve katkı maddesini ne zaman kullanacağınızı bilmek için, etkinliğin gerçekleştirilecek bir dizi adım olup olmadığını ve birkaç alternatif varsa, katkı maddesini kontrol etmeniz yeterli olacaktır..

permütasyon

uygulamaları

Bir permütasyonun ne olduğunu anlamak için, onları farklılaştırmak ve ne zaman kullanacaklarını bilmek için bir kombinasyonun ne olduğunu açıklamak önemlidir..

Bir kombinasyon, her birinin işgal ettiği pozisyon ile ilgilenmediğimiz unsurların bir düzenlemesi olacaktır..

Öte yandan, bir permütasyon, her birinin işgal ettiği pozisyon ile ilgilendiğimiz unsurların bir düzenlemesi olacaktır..

Farkı daha iyi anlamak için bir örnek verelim.

örnek

35 öğrenciyle ve aşağıdaki durumlarda bir sınıf düşünün:

1. Öğretmen, öğrencilerinden üçünün, dersi temiz tutmasına ya da ihtiyaç duyduğunda diğer öğrencilere materyal dağıtmasına yardım etmesini ister.
2. Öğretmen sınıf delegelerini (bir başkan, bir asistan ve bir finansçı) atamak istiyor..

Çözüm aşağıdaki gibi olacaktır:

1. Juan, María ve Lucía'nın oy kullanıp, sınıfı temizlemek veya malzemeleri teslim etmek için seçildiğini hayal edin. Açıkçası, 35 öğrenciden üçünün diğer grupları oluşturulabilirdi..

Kendimize aşağıdakileri sormalıyız: öğrencilerin seçiminde her birinin işgal edeceği düzen veya pozisyon önemli mi??

Bunu düşünürsek, grubun her iki görevi de aynı şekilde halledeceği için bunun gerçekten önemli olmadığını görüyoruz. Bu durumda, bir kombinasyondur, çünkü elementlerin pozisyonuyla ilgilenmiyoruz.

2. Şimdi, John’un cumhurbaşkanı, Maria’nın asistan, Lucia’nın da finansal olarak seçildiğini hayal edin..

Bu durumda, sipariş önemli mi? Cevap evet, çünkü unsurları değiştirirsek sonuç değişir. Yani, Juan’ı cumhurbaşkanı olarak koymak yerine, onu asistan olarak ve Maria’yı cumhurbaşkanı olarak koyarsak, nihai sonuç değişecektir. Bu durumda bir permütasyondur.

Fark anlaşıldığında, permütasyon ve kombinasyon formüllerini elde edeceğiz. Bununla birlikte, öncelikle “n!” Terimini tanımlamalıyız (faktoringde), çünkü farklı formüllerde kullanılacaktır..

n! = ürüne 1 - n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x n

Gerçek sayılarla kullanma:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 10 = 3,628,800

 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120

Permütasyonların formülü aşağıdaki gibi olacaktır:

nPr = n! / (n-r)!

Bununla, sıranın önemli ve n öğelerinin farklı olduğu düzenlemeleri öğrenebiliriz..

kombinasyonlar

uygulamaları

Daha önce yorum yaptığımız gibi, kombinasyonlar elementlerin pozisyonlarını umursamadığımız düzenlemelerdir..

Formülü şudur:

nCr = n! / (n-r)! r!

örnek

Sınıfı temizlemek için gönüllü olmak isteyen 14 öğrenci varsa, her grup 5 kişi tarafından kaç temizlik grubunu oluşturabilir??

Bu nedenle, çözüm aşağıdaki gibi olacaktır:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5) - 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 grupları

referanslar

1. Jeffrey, R.C., Olasılık ve Yargı Sanatı, Cambridge Üniversitesi Basını. (1992).
2. William Feller, "Olasılık Teorisine Giriş ve Uygulamaları", (Cilt 1), 3. Baskı, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Mantıksal temeller ve öznel olasılık ölçümü". Psikolojik Yasası.
4. Hogg, Robert V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Matematiksel İstatistiğe Giriş (6. basım). Üst Eyer Nehri: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) Varsayım Bilimi: Pascal Öncesi Kanıt ve Olasılık,Johns Hopkins Üniversitesi Yayınları.