Trigonometrik Sınırlar nedir? (Çözülmüş Egzersizler ile)

trigonometrik sınırlar bunlar fonksiyonların sınırlarıdır, öyle ki bu fonksiyonlar trigonometrik fonksiyonlar tarafından oluşturulur.

Trigonometrik limit hesaplamasının nasıl yapıldığını anlamak için bilinmesi gereken iki tanım vardır..

Bu tanımlar:

- "X", "b" ye eğilimi gösterdiğinde "f" fonksiyonunun limiti: f (x) 'in "b" ye yaklaşmadan "b" ye yaklaştığı değerin hesaplanmasından oluşur..

- Trigonometrik fonksiyonlar: trigonometrik fonksiyonlar, sırasıyla sin (x), cos (x) ve tan (x) ile gösterilen sinüs, kosinüs ve teğet fonksiyonlardır..

Diğer trigonometrik fonksiyonlar yukarıda belirtilen üç fonksiyondan elde edilir..

İşlevlerin sınırları

Bir fonksiyonun limit kavramını netleştirmek için basit fonksiyonlarla bazı örnekler göstermeye devam edeceğiz..

- "X", "8" e eğilimindeyken f (x) = 3 sınırı, "3" 'e eşittir, çünkü fonksiyon daima sabittir. "X" değeri ne olursa olsun, f (x) değeri her zaman "3" olur..

- "X" "6" düştüğünde f (x) = x-2 sınırı "4" olur. O zamandan beri "x" "6" ya yaklaştığında "x-2" "6-2 = 4" e yaklaştı..

- "X" "3" e yaklaştığında g (x) = x² sınırı 9'a eşittir, çünkü "x" "3" e yaklaştığında "x²" "3² = 9" değerine yaklaşır.

Önceki örneklerde görülebileceği gibi, bir limitin hesaplanması, "x" in işleve meyilli olduğu değerin değerlendirilmesinden ibarettir ve sonuç limitin değeri olacaktır, ancak bu sadece sürekli işlevler için geçerlidir..

Daha karmaşık sınırlar var mı?

Cevap evet. Yukarıdaki örnekler en basit limit örnekleridir. Hesaplama kitaplarında, ana limit alıştırmaları, 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 ve (∞) tiplerinde bir belirsizlik oluşturan egzersizlerdir. ^ 0.

Bu ifadelere belirsizlik denir çünkü matematiksel olarak anlam ifade etmeyen ifadelerdir..

Buna ek olarak, orijinal sınırda yer alan işlevlere bağlı olarak, belirsizlikleri çözmede elde edilen sonuç her durumda farklı olabilir.

Basit trigonometrik limit örnekleri

Sınırları çözmek için, ilgili fonksiyonların grafiklerini bilmek her zaman çok yararlıdır. Aşağıda sinüs, kosinüs ve tanjant fonksiyonlarının grafikleri var..

Basit trigonometrik limitlerin bazı örnekleri:

- "X", "0" derken sin (x) sınırını hesaplayın.

Grafiği görüntülerken "x" "0" değerine yaklaşıyorsa (hem solda hem de sağda), sinüs grafiğinin de "0" değerine yaklaştığını görebilirsiniz. Bu nedenle, "x", "0" düştüğünde günah (x) sınırı "0" dır..

- "X", "0" olduğunda, cos (x) sınırını hesaplayın.

Kosinüs grafiğini inceleyerek, "x" "0" 'a yakın olduğunda, kosinüs grafiğinin "1"' e yakın olduğu görülebilir. Bu, "x", "0" değerine geçtiğinde cos (x) sınırının "1" e eşit olduğunu gösterir..

Önceki örneklerde olduğu gibi bir sınır olabilir (sayı olabilir), ancak aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi olmadığı da olabilir..

- Solda "x", "Π / 2" ye eğilimi gösterdiğinde, tan (x) sınırı, "+ ∞" değerine eşittir, grafikte görüldüğü gibi. Öte yandan, "x" sağdaki "-Π / 2" e düştüğünde tan (x) 'in limiti "-∞"' e eşittir.

Trigonometrik Sınırların Kimlikleri

Trigonometrik limitleri hesaplarken iki çok yararlı kimlik:

- "X", "0" derken "sin (x) / x" sınırı "1" e eşittir.

- "X", "0" olduğunda "(1-cos (x)) / x" sınırı, "0" değerine eşittir.

Bu kimlikler bir tür belirsizliğe sahip olduğunuzda çok sık kullanılır..

Çözülmüş egzersizler

Yukarıda açıklanan kimlikleri kullanarak aşağıdaki limitleri çözün.

- "X" "0" olduğunda "f (x) = sin (3x) / x" sınırını hesaplayın.

Eğer "f" işlevi "0" da değerlendirilirse, 0/0 tipi belirsizliği elde edilecektir. Bu nedenle, bu belirsizliği tarif edilen kimlikleri kullanarak çözmeye çalışmalıyız..

Bu sınır ile kimlik arasındaki tek fark, sinüs fonksiyonu içinde görünen 3 sayısıdır. Kimliği uygulamak için, "f (x)" işlevi "3 * (sin (3x) / 3x)" şeklinde yeniden yazılmalıdır. Şimdi, hem sinüs argümanı hem de payda eşit.

Öyleyse "x", "0" derken kimliğin kullanılması "3 * 1 = 3" ile sonuçlanır. Bu nedenle, "x", "0" derken, f (x) sınırı, "3" e eşittir..

- "X" "0" olduğunda "g (x) = 1 / x - cos (x) / x" sınırını hesaplayın.

"X = 0" g (x) ile ikame edildiğinde, ∞-∞ tipinde bir belirsizlik elde edilir. Bunu çözmek için, fraksiyonlar çıkarılır ve bu da "(1-cos (x)) / x" sonucunu verir..

Şimdi, ikinci trigonometrik kimliği uygularken, "x" "0" a eşit olduğunda, g (x) sınırına sahibiz.

- "X" "0" olduğunda "h (x) = 4tan (5x) / 5x" sınırını hesaplayın.

Yine, eğer h (x) 'i "0" a çevirirseniz, 0/0 tipinde bir belirsizlik elde edersiniz..

Tan (5x) 'i sin (5x) / cos (5x) olarak yeniden yazmak, h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)) sonucudur..

"X", "0" 'a eğilimi gösterdiğinde 4 / cos (x) sınırının kullanılması, "4/1 = 4" e eşit olduğunda ve ilk trigonometrik kimlik, "x" eğilimi olduğunda h (x) sınırının "0" eşittir "1 * 4 = 4".

gözlem

Trigonometrik limitleri çözmek her zaman kolay değildir. Bu yazıda sadece temel örnekler gösterildi.

referanslar

1. Fleming, W. ve Varberg, D. E. (1989). Prekalsülüs Matematiği. Prentice Salonu PTR.
2. Fleming, W. ve Varberg, D. E. (1989). Prekalsülüs matematiği: problem çözme yaklaşımı (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Salonu.
3. Fleming, W. ve Varberg, D. (1991). Analitik geometri ile cebir ve trigonometri. Pearson Eğitimi.
4. Larson, R. (2010). Kalkülüse (8 ed.). Cengage Öğrenme.
5. Leal, J.M. & Viloria, N.G. (2005). Düz Analitik Geometri. Mérida - Venezuela: Editör Venezolana C. A.
6. Pérez, C.D. (2006). precalculus. Pearson Eğitimi.
7. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). hesaplama (Dokuzuncu basım). Prentice Salonu.
8. Saenz, J. (2005). Bilim ve Mühendislik için erken aşkın fonksiyonlara sahip diferansiyel matematik (İkinci Baskı ed.). hipotenüs.
9. Scott, C.A. (2009). Kartezyen Düzlemi Geometrisi, Bölüm: Analitik Konikler (1907) (yeniden basım.). Yıldırım Kaynağı.
10. Sullivan, M. (1997). precalculus. Pearson Eğitimi.