Çarpımsal İlke Sayma Teknikleri ve Örnekler



çarpımsal prensip elementleri listelemeye gerek kalmadan çözümü bulmak için sayma problemlerini çözmek için kullanılan bir tekniktir. Kombinasyonel analizin temel prensibi olarak da bilinir; Bir olayın nasıl gerçekleşebileceğini belirlemek için art arda çarpıma dayalıdır.

Bu ilke, bir karar verilmesi halinde,1n şekilde ve başka bir kararla alınabilir (d2) m yollarla alınabilir, kararların alınabileceği toplam yol sayısı1 ve d2 n çarpımına eşit olacak * m. İlkeye göre, her karar birbiri ardına verilir: yol sayısı = N1 * N-2... * N-x yolları.

indeks

  • 1 Örnekler
    • 1.1 Örnek 1
    • 1.2 Örnek 2
  • 2 Sayma teknikleri
    • 2.1 İlave prensibi
    • 2.2 Permütasyon prensibi
    • 2.3 Kombinasyon prensibi
  • 3 Egzersiz çözüldü
    • 3.1 Egzersiz 1
    • 3.2 Egzersiz 2
  • 4 Kaynakça

Örnekler

Örnek 1

Paula arkadaşları ile sinemaya gitmeyi ve giyeceği kıyafetleri seçmeyi 3 bluz ve 2 eteği ayırmayı planlıyor. Paula kaç tane elbise giydirir??

çözüm

Bu durumda, Paula iki karar vermelidir:

d1 = 3 bluz arasından seçim yapın = n

d2 = 2 etek arasından seçim yapın = m

Bu şekilde Paula n * m karar verme veya farklı giyinme şekilleri.

n * m = 3* 2 = 6 karar.

Çarpma prensibi, her birinin sınırlı sayıda gerçekleşebilmesi için olası tüm sonuçları birleştiren bir diyagram olan ağaç şeması tekniğinden gelir..

Örnek 2

Mario çok susadı, o yüzden bir meyve suyu almak için fırına gitti. Luis ona cevap verir ve iki büyüklüğüne sahip olduğunu söyler: büyük ve küçük; ve dört lezzet: elma, portakal, limon ve üzüm. Mario suyu kaç şekilde seçebilir??

çözüm

Diyagramda, Mario'nun suyu seçmek için 8 farklı yolu olduğu ve çarpımcı prensipte olduğu gibi, bu sonucun n'nin çarpımı ile elde edildiği görülmektedir.*m. Tek fark, bu şemada Mario'nun meyve suyunu nasıl seçtiğinin nasıl olduğunu bilmenizdir..

Öte yandan, olası sonuçların sayısı çok fazla olduğunda, çarpımsal prensibi kullanmak daha pratiktir..

Sayma teknikleri

Sayma teknikleri, doğrudan sayım yapmak için kullanılan yöntemlerdir ve bu nedenle belirli bir kümenin öğelerinin sahip olabileceği muhtemel düzenleme sayısını bilir. Bu teknikler birkaç ilkeye dayanmaktadır:

İlave prensibi

Bu ilke, eğer m ve n olayları aynı anda gerçekleşemezse, birinci veya ikinci olayın gerçekleşebileceği yol sayısının m + n toplamı olacağını belirtir:

Form sayısı = m + n ... + x farklı form.

örnek

Antonio seyahat etmek istiyor ancak hangi varış noktasına karar veremiyor; Güney Turizm Acentası'nda size New York ya da Las Vegas'a seyahat etmeyi teşvik ederken, Doğu Turizm Acentesi Fransa, İtalya ya da İspanya'ya seyahat etmenizi tavsiye ediyor. Antonio kaç farklı seyahat seçeneği sunuyor??

çözüm

Güney Turizm Ajansı ile Antonio'nun 2 alternatifi var (New York veya Las Vegas); Doğu Turizm Ajansı ile 3 seçeneği var (Fransa, İtalya veya İspanya). Farklı alternatiflerin sayısı:

Alternatiflerin sayısı = m + n = 2 + 3 = 5 alternatif.

Permütasyon prensibi

Bu, elemanlarla yapılabilecek tüm muhtemel düzenlemelerin sayımını kolaylaştırmak için, bir kümeyi oluşturan elemanların tümünü veya bir kısmını özellikle sipariş etmekle ilgilidir..

Aynı anda alınan n farklı elementin permütasyon sayısı şöyledir:

nPn = n!

örnek

Dört arkadaş bir fotoğraf çekmek ve kaç farklı form sipariş edilebileceğini bilmek istiyor..

çözüm

Fotoğraf çekmek için 4 kişinin yerleştirilebileceği olası tüm yolları bilmek istersiniz. Yani, yapmanız gereken:

4P4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 farklı yol.

Mevcut elemanların permütasyon sayısı, r elemanlarından oluşan bir kümenin bölümleri tarafından alınırsa, aşağıdaki şekilde temsil edilir:

nPr = n! ÷ (n - r)!

örnek

Bir sınıf odasında 10 pozisyon var. 4 öğrenci sınıfa katılırsa, öğrenciler pozisyonları kaç farklı şekilde işgal edebilir??

çözüm

Toplam sandalye seti sayısı 10'dur ve bunlardan sadece 4'ü kullanılacaktır, verilen formül permütasyon sayısını belirlemek için uygulanır:

nPr = n! ÷ (n - r)!

10P4 = 10! ÷ (10 - 4)!

10P4 = 10! ÷ 6!

10P4= 10* 9*8*7*6*5*4*3*2*1 ÷ 6*5*4*3*2*1 = Gönderileri doldurmanın 5040 yolu.

Bir setin mevcut elemanlarından bazılarının tekrarlandığı durumlar vardır (bunlar aynıdır). Tüm elemanları aynı anda alan düzenleme sayısını hesaplamak için aşağıdaki formül kullanılır:

nPr = n! ÷ n1!* n2!... nr!

örnek

"Kurt" kelimesinden dört harften kaç farklı kelime oluşabilir?

çözüm

Bu durumda, ikisi tamamen aynı olan 4 elemente (harf) sahibiz. Verilen formülü uygulayarak kaç farklı kelimenin olduğunu biliyoruz:

nPr = n! ÷ n1!* n2!... nr!

4P2, 1.1 = 4! ÷ 2!*1!*1!

4P2, 1, 1 = (4*3*2*1) ÷ (2*1)*1*1

4P2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 farklı kelime.

Kombinasyon prensibi

Belirli bir düzen olmadan kümeyi oluşturan öğelerin tümünü veya bir kısmını düzeltmekle ilgilidir. Örneğin, bir XYZ diziniz varsa, diğerleri arasında ZXY, YZX, ZYX dizileriyle aynı olacaktır; bunun nedeni, aynı sırada olmamasına rağmen, her düzenlemenin öğelerinin aynı olmasıdır..

Setin (n) bazı elementleri (r) alındığında, kombinasyon prensibi aşağıdaki formülle verilir:

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

örnek

Bir mağazada 5 farklı çeşit çikolata satıyorlar. 4 farklı çikolata seçebilirsin?

çözüm

Bu durumda mağazada satılan 5 tipte 4 çikolata seçmek zorundasınız. Seçildikleri sıra önemli değil ve ayrıca bir çikolata türü ikiden fazla seçilebilir. Formülü uygulayarak şunları yapmanız gerekir:

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

5C4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

5C4 = 5! ÷ (1)! 4!

5C4 = 5*4*3*2*1 ÷ 4*3*2*1

5C4 = 120 ÷ 24 = 4 çikolata seçmek için 5 farklı yol.

Setin (n) bütün elemanları (r) alındığında, kombinasyon prensibi aşağıdaki formülle verilir:

nCn = n!

Çözülmüş egzersizler

Egzersiz 1

14 üyeli bir beyzbol takımınız var. Bir oyun için kaç şekilde 5 pozisyon atayabilirsiniz?

çözüm

Set 14 elementten oluşuyor ve 5 özel pozisyon atamak istiyorsun; yani, bu sipariş önemlidir. Permütasyon formülü, n 'nin mevcut elemanlarının, r' den oluşan bir kümenin bölümleri tarafından alındığı durumlarda uygulanır..

nPr = n! ÷ (n - r)!

Burada n = 14 ve r = 5'dir. Formülde ikame edilir:

14P5 = 14! ÷ (14 - 5)!

14P5 = 14! ÷ (9)!

14P5 = 240 oyunun 9 oyun pozisyonunu tayin etmesi.

Egzersiz 2

9 kişilik bir aile seyahate çıkıp biletlerini ardışık koltuklarla satın alırsa, kaç farklı şekilde oturabilirler??

çözüm

Bu ardışık 9 koltuk işgal edecek yaklaşık 9 elementtir.

P9 = 9!

P9 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362 880 farklı oturma şekli.

referanslar

  1. Hopkins, B. (2009). Ayrık Matematik Öğretimi Kaynakları: Sınıf Projeleri, Tarih Modülleri ve Makaleler.
  2. Johnsonbaugh, R. (2005). Ayrık Matematik Pearson Eğitimi,.
  3. Lutfiyya, L.A. (2012). Sonlu ve Kesikli Matematik Problem Çözücü. Araştırma ve Eğitim Derneği Editörleri.
  4. Padró, F.C. (2001). Ayrık Matematik Politec. Catalunya.
  5. Steiner, E. (2005). Uygulamalı bilimler için matematik. Reverte.