Minimum Kare Yöntemi, Çözülmüş Egzersizler ve Neler Yaptığı



Yöntemi en küçük kareler Fonksiyonların yaklaşımında en önemli uygulamalardan biridir. Buradaki fikir, bir sıralı çiftler kümesi verildiğinde, bu fonksiyonun verilere daha yakın olduğu bir eğri bulmaktır. İşlev bir çizgi, ikinci dereceden bir eğri, kübik bir eğri vb. Olabilir..

Yöntemin fikri, seçilen fonksiyonun ürettiği noktalar ve veri setine ait noktalar arasındaki koordinatlardaki (Y bileşeni) farklılıkların karelerinin toplamını en aza indirmektir..

indeks

  • 1 en küçük kareler yöntemi
  • 2 Çözülen Egzersizler
    • 2.1 Egzersiz 1
    • 2.2 Egzersiz 2
  • 3 Ne için??
  • 4 Kaynakça

En küçük kareler yöntemi

Yöntemi vermeden önce, öncelikle "daha iyi yaklaşım" ın ne anlama geldiği konusunda net olmalıyız. Farz edelim ki y = b + mx satırını en iyi n noktasını temsil ediyor, yani (x1, y1), (x2, y2) ..., (xn, yn).

Önceki şekilde gösterildiği gibi, eğer x ve y değişkenleri y = b + mx çizgisiyle ilişkiliyse, x = x1 için y'nin karşılık gelen değeri b + mx1 olur. Ancak, bu değer, y = y1 olan y'nin gerçek değerinden farklıdır.

Düzlemde, iki nokta arasındaki mesafenin aşağıdaki formüle göre verildiğini hatırlayın:

Bunu akılda tutarak, verilen verilere en iyi şekilde yaklaşan y = b + mx çizgisinin nasıl seçileceğini belirlemek için, noktalar arasındaki mesafelerin karelerinin toplamını en aza indiren çizginin seçimini kullanmak mantıklı olacaktır. ve düz.

(X1, y1) ve (x1, b + mx1) noktaları arasındaki mesafe y1- (b + mx1) olduğu için sorunumuz m ve b sayılarını bulmaya indirgenir;

Bu koşulu karşılayan çizgi "en küçük kareler çizgisinin noktalara yaklaştırılması (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)" olarak bilinir..

Sorun çözüldüğünde, en küçük kareler yaklaşımını bulmak için bir yöntem seçmemiz gerekiyor. (X1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) noktalarının tümü y = mx + b satırındaysa, eşlikli olmalıyız ve:

Bu ifadede:

Son olarak, eğer noktalar collinear değilse, o zaman y-Au = 0 olur ve problem bir vektör veya Euclidean normunun minimum olacağı şekilde çevrilebilir..

Küçültme vektörünü bulmak, düşündüğünüz kadar zor değildir. A nx2 bir matris olduğundan ve u 2 x 1 matris olduğundan, Au vektörünün R de bir vektör olduğunun ve bu, R'nin bir alt alanı olan A'nın görüntüsüne aittir.n ikiden büyük olmayan bir boyutta.

İzlenmesi gereken prosedürün hangisi olduğunu göstermek için n = 3 olduğunu varsayıyoruz. N = 3 ise, A'nın görüntüsü orijinden geçen bir düzlem veya çizgi olacaktır..

V simge durumuna küçültme vektörü olsun. Şekilde, y-Au'nun A görüntüsüne dikken küçültüldüğünü gözlemliyoruz, yani, v simge küçültme vektörü ise, şöyle olur:

Ardından, yukarıdakileri şu şekilde ifade edebiliriz:

Bu sadece olabilir:

Son olarak, v'yi temizleyerek yapmamız gereken:

Bunu A'dan beri yapmak mümkündür.tA, veriler olarak verilen n noktaları collinear olmadığı sürece tersine çevrilemez..

Şimdi, bir çizgi aramak yerine, bir parabol bulmak istersek (ifadesi y = a + bx + cx biçiminde olur)2n veri noktalarına daha iyi bir yaklaşıma sahipse, prosedür aşağıda açıklandığı gibi olacaktır..

N veri noktaları söz konusu parabolde olsaydı, şunları yapmak zorunda olurdu:

o zaman:

Benzer şekilde y = Au yazabiliriz. Tüm noktalar parabolde değilse, y-Au'nun herhangi bir u vektörü için sıfırdan farklı olduğu ve sorunumuzun tekrar olduğu: R3'de bir vektör u bulunacak şekilde norm || y-Au || mümkün olduğunca küçük olmak.

Önceki prosedürü tekrarlayarak, aranan vektöre ulaşabiliriz:

Çözülmüş egzersizler

Egzersiz 1

(1,4), (-2,5), (3, -1) ve (4,1) noktalarına en çok uyan çizgiyi bulun..

çözüm

Yapmamız gereken:

o zaman:

Bu nedenle, noktalara en çok uyan çizginin şu şekilde verildiği sonucuna varıyoruz:

Egzersiz 2

Bir nesnenin 200 m yükseklikten düşürüldüğünü varsayalım. Düşerken, aşağıdaki önlemler alınır:

Sözü edilen nesnenin yüksekliğinin t zamanını geçtikten sonra verdiğini biliyoruz:

G'nin değerini elde etmek istiyorsak, tabloda verilen beş noktaya daha iyi bir yaklaşım olan bir parabol bulabiliriz ve bu nedenle, eşlik eden katsayıya sahip oluruz.2 Ölçümler doğruysa, (-1/2) g değerine makul bir yaklaşım olacaktır..

Yapmamız gereken:

Ve sonra:

Böylece veri noktaları aşağıdaki ikinci dereceden ifade ile ayarlanır:

O zaman yapmanız gerekir:

Bu, doğru olana makul derecede yakın bir değerdir, ki g = 9.81 m / s2. Daha doğru bir g yaklaşımı elde etmek için daha kesin gözlemlerden başlamak gerekli olacaktır..

Bu ne için??

Doğa bilimlerinde veya sosyal bilimlerde ortaya çıkan problemlerde, bazı matematiksel ifadelerle farklı değişkenler arasında meydana gelen ilişkileri yazmak uygun olur..

Örneğin, ekonomi içindeki maliyet (C), gelir (I) ve kar (U) 'yı basit bir formülle ilişkilendirebiliriz:

Fizikte, yerçekiminin neden olduğu ivmeyi, bir nesnenin düşme zamanını ve nesnenin yüksekliğini yasa ile ilişkilendirebiliriz:

Önceki ifadede sveya o nesnenin ilk yüksekliği ve vveya senin ilk hızın.

Ancak, bunun gibi formüller bulmak basit bir iş değildir; genellikle farklı veriler arasındaki ilişkileri bulmak için birçok veriyle çalışmak ve defalarca birkaç deney yapmak (elde edilen sonuçların sabit olduğunu doğrulamak için).

Bunu başarmanın yaygın bir yolu, bir düzlemde elde edilen verileri nokta olarak göstermek ve bu noktalara en uygun şekilde yaklaşan sürekli bir işlev aramaktır..

Verilen verilere "en iyi yaklaşan" fonksiyonu bulma yollarından biri en küçük kareler metodudur..

Ek olarak, alıştırmada da gördüğümüz gibi, bu yöntem sayesinde fiziksel sabitlere oldukça yakın yaklaşımlar alabiliriz..

referanslar

  1. Charles W Curtis Doğrusal Cebir. Springer-Velarg
  2. Kai Lai Chung Stokastik Süreçlerle Temel Olasılık Teorisi. Springer-Verlag New York Inc
  3. Richar L Yükü ve J.Douglas Faires. Sayısal Analiz (7ed). Thompson Öğrenme.
  4. Stanley I. Grossman. Lineer Cebir Uygulamaları. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEKSİKA
  5. Stanley I. Grossman. Doğrusal cebir MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEKSİKA