Ayrık Matematik Ne Hizmet Verir, Küme Teorisi



ayrık matematik doğal sayılar kümesini çalışmaktan sorumlu bir matematik alanına karşılık gelir; yani, elemanların ayrı ayrı sayılabildiği, sınırlı ve sonsuz sayılabilir sayı kümesi.

Bu kümeler ayrık kümeler olarak bilinir; Bu kümelerin bir örneği tam sayılar, grafikler veya mantıksal ifadelerdir ve bunlar özellikle bilim veya hesaplamada bilimin farklı alanlarına uygulanır.

indeks

  • 1 açıklaması
  • 2 Ayrık matematik ne içindir??
    • 2.1 Kombinatoryal
    • 2.2 Ayrık dağılım teorisi
    • 2.3 Bilgi teorisi
    • 2.4 Hesaplama
    • 2.5 Şifreleme
    • 2.6 Mantık
    • 2.7 Grafik teorisi
    • 2.8 Geometri
  • 3 Kümeler Teorisi
    • 3.1 Sonlu küme
    • 3.2 Sonsuz muhasebe seti
  • 4 Kaynakça

tanım

Kesikli matematikte süreçler sayılarla hesaplanabilir. Bu, ondalık sayıların kullanılmadığı ve bu nedenle, diğer alanlarda olduğu gibi, yaklaşık değerlerin veya sınırların kullanılmadığı anlamına gelir. Örneğin, bilinmeyen bir kişi 5 veya 6'ya eşit olabilir, ancak hiçbir zaman 4.99 veya 5.9.

Öte yandan, grafik gösterimlerinde değişkenler ayrık olacak ve resimde görüldüğü gibi birer birer sayılan sonlu nokta kümesinden verilmiştir:

Kesikli matematik, farklı alanlarda uygulayabilmek için birleştirilip test edilebilecek kesin bir çalışma edinme ihtiyacından doğar..

Ayrık matematik ne için??

Kesikli matematik çoklu alanlarda kullanılır. Bunlardan başlıcaları şunlardır:

kombinatoryal

Elemanların sipariş edilebileceği veya birleştirilebileceği ve sayılabileceği sonlu kümeleri inceleyin.

Ayrık dağılım teorisi

Numunelerin sayılabilir olabileceği alanlarda meydana gelen, olayların kesikli dağılımları yaklaşık olarak göstermek için sürekli dağılımların kullanıldığı alanlarda yapılan çalışmaların incelenmesi.

Bilgi teorisi

Örneğin analog sinyaller gibi verilerin tasarımı ve iletimi ve depolanması için kullanılan bilgilerin kodlanması anlamına gelir..

işlem

Kesikli matematik aracılığıyla problemler algoritmalar kullanılarak çözülmekte, hesaplanabilecekleri ve ne kadar zaman alacağı üzerine çalışılmaktadır (karmaşıklık).

Kesikli matematiğin bu alandaki önemi son yıllarda özellikle programlama dillerinin ve yazılımlar.

kriptografi

Güvenlik yapıları veya şifreleme yöntemleri oluşturmak için ayrık matematiğe dayanmaktadır. Bu uygulamanın bir örneği, bilgi içeren ayrı ayrı bitler gönderen şifrelerdir..

Çalışmada tamsayıların ve asal sayıların (sayı teorisi) özellikleri bu güvenlik yöntemlerini oluşturabilir veya tahrip edebilir.

mantık

Teoremleri ispatlamak veya örneğin yazılımı doğrulamak için genellikle sonlu bir kümeyi oluşturan ayrık yapılar kullanılır.

Grafik teorisi

Aşağıdaki resimde gösterildiği gibi, bir grafik türü oluşturan düğümler ve çizgiler kullanarak mantıksal sorunların çözülmesine izin verir:

Cebirsel ifadeler ayrık olduğu için ayrık matematiğe yakından bağlı bir alandır. Bu sayede elektronik devreler, işlemciler, programlama (Boole cebri) ve veritabanları (ilişkisel cebir) geliştirilmiştir..

geometri

Düzlem kaplaması gibi geometrik nesnelerin birleştirici özelliklerini inceleyin. Öte yandan, hesaplama geometrisi algoritmalar uygulayarak geometrik problemler geliştirmeyi mümkün kılar.

Kümelerin Teorisi

Ayrık matematik kümelerinde (sonlu ve sonsuz sayılabilir) çalışmanın ana amacıdır. Kümeler teorisi, tüm sonsuz kümelerin aynı boyutta olduğunu gösteren George Cantor tarafından yayınlandı..

Bir küme, iyi tanımlanmış bir elemanlar grubudur (sayılar, şeyler, hayvanlar ve insanlar, diğerleri); yani, her bir öğenin kümeye ait olduğu ve örneğin ∈ A olarak ifade edilen bir ilişki vardır..

Matematikte, belirli sayıları özelliklerine göre gruplayan farklı kümeler vardır. Yani, örneğin, var:

- Doğal sayı kümesi N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... + ∞.

- E = -∞ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... + ∞ tamsayıları kümesi.

- Rasyonel sayıların alt kümesi Q * = -∞ ..., - ¼, - ½, 0, ¼, ½, ... ∞.

- Gerçek sayı kümesi R = -∞ ..., - ½, -1, 0, ½, 1, ... ∞.

Setler büyük harfle yazılan alfabenin harfleriyle adlandırılır; Elemanlar küçük harflerle isimlendirilirken, parantezlerin içine () ve virgülle (,) ayrılır. Bunlar genellikle Venn ve Caroll gibi diyagramlarla ve hesaplamalı olarak gösterilir..

Sendika, kesişme, tamamlama, fark ve Kartezyen ürün gibi temel işlemler ile kümeler ve unsurları ait olma ilişkisine göre yönetilir..

Kesikli matematikte en çok çalışılan birkaç tür küme vardır:

Sonlu küme

Sınırlı sayıda elemana sahip olan ve doğal bir rakama karşılık gelen bir tanesidir. Örneğin, A = 1, 2, 3,4, 4 öğeli sonlu bir kümedir..

Sonsuz muhasebe seti

Bir kümenin elemanları ile doğal sayılar arasında yazışmaların olduğu; yani bir elementten art arda bir setin tüm elemanlarını listeleyebilir.

Bu şekilde, her eleman doğal sayılar kümesinin her elemanına karşılık gelecektir. Örneğin:

Z = ... -2, -1, 0, 1, 2 ... tamsayıları kümesi Z = 0, 1, -1, 2, -2 ... olarak listelenebilir. Bu şekilde, aşağıdaki gibi gösterildiği gibi, Z'nin elemanları ile doğal sayılar arasında birebir yazışmalar yapmak mümkündür:

Bu, sürekli problemin çözümünün yaklaşık olarak bilindiği çözümün bilinen problemlere dönüştürülmesi gereken sürekli problemleri (modeller ve denklemler) çözmek için kullanılan bir yöntemdir..

Başka bir şekilde görüldüğünde, ayrıklaştırma sonlu bir miktarı sonsuz nokta kümesinden çıkarmaya çalışır; bu şekilde, sürekli bir birim ayrı birimlere dönüştürülür.

Genel olarak, bu yöntem, sayısal bir analizde, örneğin bir diferansiyel denklemin çözümünde olduğu gibi, sürekli olduğu halde bile alanında sınırlı miktarda veri ile temsil edilen bir fonksiyon aracılığıyla kullanılır..

Bir başka ayrıklaştırma örneği, sürekli sinyal birimleri ayrı birimlere dönüştürüldüğünde (bunlar ayrıştırılır) ve daha sonra dijital sinyal elde etmek için kodlanıp nicelendirildiğinde, bir analog sinyali dijitale dönüştürmek için kullanımıdır.

referanslar

  1. Grimaldi, R.P. (1997). Ayrık ve birleşik matematik. Addison Wesley Iberoamericana.
  2. Ferrando, V. Gregori. (1995). Ayrık Matematik Reverte.
  3. Jech, T. (2011). Kuramı Ayarla. Stanford Felsefe Ansiklopedisi.
  4. José Francisco Villalpando Becerra, A.G. (2014). Ayrık Matematik: Uygulamalar ve Uygulamalar. Patria Editör Grubu.
  5. Landau, R. (2005). Bilişim, Bilimsel İlk Ders.
  6. Merayo, F. G. (2005). Ayrık Matematik Thomson Editörden.
  7. Rosen, K.H. (2003). Ayrık Matematik ve uygulamaları. McGraw-Hill.
  8. Schneider, D.G. (1995). Ayrık Matematiğe Mantıklı Bir Yaklaşım.