Homothety Özellikleri, Çeşitleri ve Örnekleri

homotecia merkez (O) adı verilen sabit bir noktadan mesafelerin ortak bir faktörle çarpıldığı düzlemde geometrik bir değişimdir. Bu şekilde, her P noktası dönüşümün bir başka P noktası olan 'ürününe karşılık gelir ve bunlar O noktası ile hizalanır.

Daha sonra, homothety, dönüştürülen noktaların homotik olarak adlandırıldığı ve geometrik bir nokta ile birbirine paralel bölümlerle hizalandığı, iki geometrik şekil arasındaki bir yazışmadır..

indeks

• 1 Homotesi
• 2 Özellikler
• 3 Türleri
  • 3.1 Doğrudan Homothety
  • 3.2 Ters homothety
• 4 Kompozisyon
• 5 Örnekler
  • 5.1 İlk örnek
  • 5.2 İkinci örnek
• 6 Kaynakça

homotecia

Homothety, uyumlu bir görüntüye sahip olmayan bir dönüşümdür, çünkü bir şekilden orijinal şekilden daha büyük veya daha küçük boyutta bir veya daha fazla şekil elde edilecektir; Diğer bir deyişle, homothety bir çokgeni başka bir benzerine dönüştürür..

Homotitenin yerine getirilmesi için, noktadan noktaya ve düzden düze karşılık gelmeleri gerekir; böylece homolog nokta çiftleri, eşcinselliğin merkezi olan üçüncü bir sabit nokta ile hizalanır..

Aynı şekilde, onları birleştiren satır çiftleri paralel olmalıdır. Bu tür bölümler arasındaki ilişki, homothety oranı (k); Homothety'nin şu şekilde tanımlanabileceği bir şekilde:

Bu tür bir dönüşümü yapmak için, evliliğin merkezi olacak keyfi bir nokta seçerek başlıyorsunuz.

Bu noktadan sonra, dönüştürülecek olan şeklin her bir köşesi için çizgi parçaları çizilir. Yeni figürün çoğaltılmasının yapıldığı ölçek, homothety (k) nedeni ile verilmiştir..

özellikleri

Homothety'nin temel özelliklerinden biri, homothety (k) nedeniyle, tüm homothetic şekillerin benzer olmasıdır. Diğer olağanüstü özellikler arasında şunlar yer almaktadır:

- Homothety'nin (O) merkezi tek çifte noktadır ve kendine dönüşür; yani, değişmez.

- Merkezden geçen çizgiler kendilerini dönüştürürler (çiftdirler), ama onu oluşturan noktalar çift değildir..

- Merkezden geçmeyen düzlükler paralel çizgilere dönüşür; bu şekilde, homojenlik açıları aynı kalır.

- Bir segmentin merkez O ve k oranı homothety ile görüntüsü, buna paralel bir segmenttir ve k katının uzunluğuna sahiptir. Örneğin, aşağıdaki resimde görüldüğü gibi, homotetik bir AB segmenti bir başka A'B segmenti ile sonuçlanacaktır, böylece AB A'B '' ye paralel olacak ve k şöyle olacaktır:

- Homotetik açılar uyumludur; yani, aynı ölçüme sahipler. Bu nedenle, bir açının görüntüsü aynı genliğe sahip bir açıdır.

Öte yandan, homothety (k) oranının değerine bağlı olarak değişir ve aşağıdaki durumlar ortaya çıkabilir:

- Eğer k = 1 sabiti varsa, tüm noktalar sabittir, çünkü kendilerini dönüştürürler. Böylece, homotetik figür orijinalle çakışır ve dönüşüme kimlik işlevi denir..

- Eğer k ≠ 1 ise, tek sabit nokta evliliğin merkezi olacaktır (O).

- Eğer k = -1 ise, homojenlik merkezi bir simetri (C) olur; yani, C'nin etrafında bir dönüş 180 derecelik bir açıyla gerçekleşir^veya.

- Eğer k> 1 ise, dönüştürülen şeklin boyutu orijinalin boyutundan daha büyük olacaktır..

- Evet 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.

- Evet -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.

- Eğer k < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.

tip

Homothety, oranının (k) değerine bağlı olarak iki türe ayrılabilir:

Doğrudan homothety

Eğer k> 0 sabiti varsa olur; yani, homotetik noktalar merkeze göre aynı tarafta:

Doğrudan homothetic rakamlar arasındaki orantılılık veya benzerlik oranı faktörü her zaman pozitif olacaktır..

Ters homotetik

Eğer sabit k ise olur < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:

Homotetik ters rakamlar arasındaki orantılılık veya benzerlik oranı faktörü her zaman negatif olacaktır.

bileşim

Orijinaline eşit bir rakam elde edilinceye kadar art arda birkaç hareket yapıldığında, hareketlerin bir bileşimi oluşur. Birkaç hareketin bileşimi de bir harekettir.

İki homothecias arasındaki kompozisyon yeni bir homothecia ile sonuçlanır; yani, merkezin iki orijinal dönüşümün merkezi ile aynı hizada olacağı ve (k) oranı iki nedenin ürünü olduğu homotetik bir ürünümüz var..

Böylece, iki H homotheces bileşiminde₁(O₁, k₁) ve H₂(O₂, k₂), nedenlerinizi çarparak: k₁ x k₂ = 1, k oranı homothety'iyle sonuçlanacaktır.₃ = K₁ x k₂. Bu yeni evliliğin merkezi (O₃) O düz üzerinde yer alacaktır₁ Ey₂.

Homothety, düz ve geri dönüşü olmayan bir değişime karşılık gelir; aynı merkez ve orana sahip fakat farklı bir işaret ile iki ev sahipliği uygulanırsa, orijinal şekil elde edilecektir..

Örnekler

İlk örnek

A noktasından 5 cm uzakta bulunan ve oranı k = 0.7 olan, verilen merkez poligona (O) bir homothety uygulayın..

çözüm

Herhangi bir nokta, Homothety'nin merkezi olarak seçilir ve bu ışıntan, şeklin köşeleriyle çizilir:

Merkezden (O) A noktasına uzaklık OA = 5'tir; Bununla, k = 0.7 olduğunu bilerek homotetik noktalardan birinin (OA ') mesafesini belirleyebilirsiniz.

OA '= k x OA.

OA '= 0.7 x 5 = 3.5.

İşlem, her köşe için yapılabilir veya iki poligonun paralel tarafları olduğunu hatırlayarak homotik poligonu da çizebilirsiniz:

Son olarak, dönüşüm şöyle görünür:

İkinci örnek

Verilen merkez poligonuna (O), C noktasından 8,5 cm uzakta bulunan ve y oranı k = -2 olana bir homothety uygulayın..

çözüm

Merkezden (O) C noktasına uzaklık OC = 8.5'tir; Bu verilerle, k = -2 olduğunu bilerek, homotetik noktalardan birinin (OC ') mesafesini belirlemek mümkündür:

OC '= k x OC.

OC '= -2 x 8.5 = -17

Dönüştürülen poligonun köşelerinin bölümlerini çizdikten sonra, başlangıç ​​noktalarının ve bunların homotetiklerinin merkeze göre zıt uçlarda konumlandırıldığını gördük:

referanslar

1. Álvaro Rendón, A.R. (2004). Teknik Çizim: etkinlikler defteri.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, J.L. (2002). Affinite, homoloji ve homotite.
3. Baer, ​​R. (2012). Lineer Cebir ve Projektif Geometri. Kurye Şirketi.
4. Hebert, Y. (1980). Genel matematik, olasılıklar ve istatistikler.
5. Meserve, B. E. (2014). Geometrinin Temel Kavramları. Kurye Şirketi.
6. Nachbin, L. (1980). Cebire giriş. Reverte.