Faktörleşme Yöntemleri ve Örnekleri

çarpanlarına ayırma bir polinomun sayılar, harfler veya her ikisi de olabilen faktörlerin çarpımı şeklinde ifade edildiği bir yöntemdir. Terimler için ortak olan faktörleri çarpanlara ayırmak için gruplandırılmış ve bu şekilde polinom çeşitli polinomlara ayrıştırılmıştır..

Dolayısıyla, faktörler birbirini çarptığında sonuç, orijinal polinomdur. Faktoring, cebirsel ifadeleriniz olduğunda çok kullanışlı bir yöntemdir, çünkü birkaç basit terimin çarpımına dönüştürülebilir; Örneğin: 2a² + 2ab = 2a _* (a + b).

Polinomun çarpanlara ayrılmadığı durumlar vardır çünkü terimleri arasında ortak bir faktör yoktur; bu nedenle, bu cebirsel ifadeler sadece kendi aralarında ve 1 ile bölünebilir. Örneğin: x + y + z.

Bir cebirsel ifadede, ortak faktör onu oluşturan terimlerin en büyük ortak bölenidir..

indeks

• 1 Faktoring yöntemleri
  • 1.1 Ortak faktöre göre faktoring
  • 1.2 Örnek 1
  • 1.3 Örnek 2
  • 1.4 Gruplandırmaya göre faktoring
  • 1.5 Örnek 1
  • 1.6 Muayene ile faktoring
  • 1.7 Örnek 1
  • 1.8 Örnek 2
  • 1.9 Olağanüstü ürünlerle faktoring
  • 1.10 Örnek 1
  • 1.11 Örnek 2
  • 1.12 Örnek 3
  • 1.13 Ruffini'nin yönetimi ile faktoring
  • 1.14 Örnek 1
• 2 Kaynaklar

Faktoring yöntemleri

Vakaya bağlı olarak uygulanan birçok faktoring yöntemi vardır. Bunlardan bazıları şunlardır:

Ortak faktöre göre faktoring

Bu yöntemde ortak olan faktörler tanımlanır; yani ifade açısından tekrarlananlar. Daha sonra dağılım özelliği uygulanır, azami ortak bölen kaldırılır ve çarpanlara ayırma tamamlanır..

Başka bir deyişle, ortak ifade faktörü tanımlanır ve her terim aralarına bölünür; Ortaya çıkan terimler çarpanlaştırmayı ifade etmek için en büyük ortak faktörle çarpılacaktır..

Örnek 1

Faktör (b²x) + (b²y).

çözüm

İlk olarak, her bir terimin ortak faktörü vardır, ki bu durumda b², ve sonra terimler aşağıdaki gibi ortak faktöre bölünmüştür:

(b²x) / b² = x

(b²y) / b² = y.

Faktoring, ortak faktörü ortaya çıkan terimlerle çarparak ifade edilir:

(b²x) + (b²y) = b² (x + y).

Örnek 2

Çarpanlara ayırma (2a)²b³) + (3ab²).

çözüm

Bu durumda, her terimde "a" ve "b" olan ve iktidara yükseltilmiş iki faktör vardır. Onları etkilemek için, önce iki terim uzun biçimlerine ayrılır:

2_*için_*için_*b_*b_*b + 3a_*b_*b

"A" faktörünün ikinci terimde sadece bir kez tekrarlandığı ve "b" faktörünün içinde iki kez tekrarlandığı görülmektedir; yani ilk terimde sadece 2, bir "a" ve "b" faktörü vardır; ikinci dönemde ise sadece 3.

Bu nedenle, "a" ve "b" nin, her bir terimden geriye kalan ve görüntüde görüldüğü gibi kalan faktörlerle çarpıldığı ve çarpıldığı zamanları yazıyoruz:

Gruplandırma ile çarpanlara ayırma

Tüm durumlarda, bir polinomun maksimum ortak böleni açıkça ifade edilmediğinden, polinomu ve böylece faktörü yeniden yazabilmek için başka adımlar atılması gerekir..

Bu adımlardan biri, polinom terimlerini birkaç gruba ayırmak ve ardından ortak faktör yöntemini kullanmaktır..

Örnek 1

Faktör ac + bc + ad + bd.

çözüm

İkisinin ortak olduğu 4 faktör vardır: ilk terim "c" ve ikincisinde "d" dir. Bu şekilde iki terim gruplandırılmış ve ayrılmıştır:

(ac + bc) + (reklam + bd).

Şimdi, her bir terimi ortak faktörüyle bölüp sonra bu ortak faktörü sonuçtaki terimlerle çarparak, ortak faktör yöntemini uygulamak mümkündür:

(ac + bc) / c = a + b

(reklam + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Şimdi her iki terim için ortak olan bir binom olsun. Faktör için kalan faktörlerle çarpılır; Bu şekilde yapmanız gerekenler:

ac + bc + reklam + bd =  (c + d) _* (a + b).

İncelemeyle çarpanlara ayırma

Bu yöntem, aynı zamanda trinomial olarak da adlandırılan ikinci dereceden polinomları faktörlendirmek için kullanılır; yani, balta olarak yapılandırılmış olanlar² ± bx + c, burada "a" değeri 1'den farklıdır. Bu yöntem, trinomial x biçimine sahip olduğunda da kullanılır.² ± bx + c ve "a" değeri = 1.

Örnek 1

Faktör x² + 5x + 6.

çözüm

X formunun ikinci dereceden bir ifadesine sahipsiniz.² ± bx + c. Öncelikle faktörlendirmek için çarpıldığında, sonuç olarak "c" (yani 6) değerini veren ve toplamının 5 olan "b" katsayısına eşit olduğu iki sayı bulmalısınız. Bu sayılar 2 ve 3'tür. :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Bu şekilde, ifade şöyle basitleştirilir:

(x² + 2x) + (3x + 6)

Her terim faktoring:

- (X için)² + 2x) ortak terim çıkarılır: x (x + 2)

- (3x + 6) = 3 (x + 2) için

Böylece, ifade kalır:

x (x +2) + 3 (x +2).

Ortak bir binomunuz olduğu için, ifadeyi azaltmak için bunu artı terimlerle çarpın ve yapmanız gereken:

x² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Örnek 2

Faktör 4a² + 12a + 9 = 0.

çözüm

Form balyasının ikinci dereceden bir ifadesine sahipsiniz.² ± bx + c ve hepsini ifade etmek için x ifadesinin katsayısı ile çarpılır.²; bu durumda, 4.

4² + 12a +9 = 0

4² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a² + 12a (4) + 36 = 0

4² için² + 12a (4) + 36 = 0

Şimdi birlikte çarpıldığında, sonuç olarak "c" (36 olan) değerini veren ve birlikte eklendiğinde "a" teriminin 6 olan katsayı değerine neden olan iki sayı bulmalıyız..

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Bu sayede ifade yeniden yazılır ve² için² = 4a _* 4A. Bu nedenle, dağıtım özelliği her terim için uygulanır:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Son olarak, ifade katsayısı ile bölünür.²; yani, 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

İfade aşağıdaki gibidir:

4² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Olağanüstü ürünlerle faktoring

Polinomları önceki yöntemlerle tamamen etkilemek için çok uzun bir süreç haline gelebilecek durumlar vardır..

Bu nedenle, dikkat çekici ürünlerin formülleriyle bir ifade geliştirilebilir ve böylece süreç daha basit hale gelir. En çok kullanılan önemli ürünler arasında:

- İki karenin farkı: (a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

- Bir toplamın mükemmel karesi: a² + 2ab + b² = (a + b)²

- Farkın kusursuz karesi: a² - 2ab + b² = (a - b)²

- İki küpün farkı: a³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

- İki küpün toplamı: a³ - b³ = (a + b) _* (a² - ab + b²)

Örnek 1

Faktör (5² - x²)

çözüm

Bu durumda iki kare farkı vardır; bu nedenle, dikkat çekici ürünün formülü uygulanır:

(a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

(5² - x²) = (5 - x) _* (5 + x)

Örnek 2

Faktör 16x² + 40x + 25²

çözüm

Bu durumda toplamın mükemmel bir karesini elde ederiz, çünkü iki terimi kare olarak tanımlayabiliriz ve kalan terim, iki terimi birinci terimin kareköküyle, ikinci terimin kareköküyle çarpmanın sonucudur..

için² + 2ab + b² = (a + b)²

Faktör olarak sadece birinci ve üçüncü terimlerin karekökleri hesaplanır:

16 (16x²) = 4x

25 (25²) = 5.

Sonra ortaya çıkan iki terim, işlemin işareti ile ayrılır ve tüm polinom kare şeklindedir:

16x² + 40x + 25² = (4x + 5)².

Örnek 3

Faktör 27a³ - b³

çözüm

İfade, iki faktörün küp üzerine yükseltildiği bir çıkarma işlemini temsil eder. Bunları çarpanlara ayırmak için, küp farkının kayda değer ürün formülü uygulanır:

için³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

Böylece, her bir binom teriminin kübik kökü çarpanlara ayrılır ve birinci terimin karesiyle artı birinci terimin çarpımı ikinci terim ve ikinci terim kareyle çarpılır..

27³ - b³

³√ (27a³) = 3a

³√ (-b³) = -b

27³ - b³ = (3a - b) _* [(3a)² + 3ab + b²)]

27³ - b³ = (3a - b) _* (9a² + 3ab + b²)

Ruffini'nin yönetimi ile faktoring

Bu yöntem, ifadeyi daha düşük dereceli birkaç polinomla basitleştirmek için ikiden büyük bir polinomunuz olduğunda kullanılır..

Örnek 1

Faktör Q (x) = x⁴ - 9x² + 4x + 12

çözüm

İlk önce bağımsız terim olan 12 bölen sayılara bakınız; bunlar ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 ve ± 12'dir..

Daha sonra, x en düşükten en yükseğe bu değerlerle değiştirilir ve böylelikle bölmenin kesin olacağı değerlerle belirlenir; bu, gerisi 0 olmalıdır:

x = -1

Q (-1) = (-1)⁴ - 9 (-1)² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1⁴ - 9 (1)² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2⁴ - 9 (2)² + 4 (2) + 12 = 0.

Ve böylece her bölücü için. Bu durumda bulunan faktörler x = -1 ve x = 2'dir..

Şimdi, Ruffini yöntemi, ifadenin katsayılarının, bölmenin kesin olması için bulunan faktörler arasında bölüneceğine göre uygulanır. Polinom terimleri en yüksekten en aşağıya üs olarak sıralanır; Sıralamada takip eden dereceye sahip bir terimin eksik olması durumunda, yerine bir 0 yerleştirilir..

Katsayılar, aşağıdaki resimde görüldüğü gibi bir şemaya yerleştirilmiştir..

İlk katsayı düşürülür ve bölen tarafından çarpılır. Bu durumda, ilk bölen -1'dir ve sonuç bir sonraki sütuna yerleştirilir. Daha sonra elde edilen sonuç ile katsayının değeri dikey olarak eklenir ve sonuç aşağıya yerleştirilir. Bu şekilde işlem son sütuna kadar tekrar edilir..

Sonra aynı prosedür tekrarlanır, ancak ikinci bölenle (ki bu 2'dir), çünkü ifade hala basitleştirilebilir..

Böylece, elde edilen her kök için, polinomun bir terimi (x - a) olacaktır, burada "a" kökünün değeridir:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Öte yandan, bu terimler Ruffini'nin 1: 1 ve -6 kurallarının geri kalanı ile çarpılmalıdır, ki bu bir notu temsil eden faktörlerdir. Bu şekilde oluşan ifade şöyledir: (x² + x - 6).

Polinomun çarpanlara ayrılmasının sonucunun Ruffini yöntemi ile elde edilmesi:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x² + x - 6)

Bitirmek için, önceki ifadede görünen 2. derece polinomu (x + 3) (x-2) olarak yeniden yazılabilir. Bu nedenle, son çarpanlara ayırma:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2)_*(x + 3)_*(X-2).

referanslar

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Analitik geometri ile cebir ve trigonometri. Pearson Eğitimi.
2. J, V. (2014). Polinom Faktoring Hakkında Çocuklara Nasıl Öğretilir.
3. Manuel Morillo, A.S. (s.f.). Temel Matematik Uygulamaları ile.
4. Roelse, P.L. (1997). Sonlu alanlarda polinom çarpanlarına ayırma için doğrusal yöntemler: teori ve uygulamalar. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Halkalar ve Faktoring.