Polinom denklemleri (Çözülmüş Alıştırmalarla)

polinom denklemleri Eşitliklerin her iki tarafını oluşturan terimlerden en az birinin polinom olduğu P (x) olduğu iki ifade veya üyenin eşitliğini arttıran bir ifadedir. Bu denklemler değişkenlerinin derecesine göre adlandırılır.

Genel olarak, bir denklem iki ifadenin eşitliğini oluşturan bir ifadedir; bunlardan en az birinde değişken veya bilinmeyen olarak bilinmeyen büyüklükler vardır. Pek çok denklem türü olmasına rağmen, bunlar genel olarak iki türe ayrılır: cebirsel ve aşkın.

Polinom denklemleri yalnızca denklemde yer alan bir veya daha fazla bilinmeyene sahip cebirsel ifadeler içerir. Üsse göre (derece) şu şekilde sınıflandırılabilirler: birinci derece (doğrusal), ikinci derece (ikinci dereceden), üçüncü derece (kübik), dördüncü derece (kuartik), beşten büyük veya beşe eşit ve irrasyonel.

indeks

• 1 özellikleri
• 2 Türleri
  • 2.1 birinci sınıf
  • 2.2 İkinci derece
  • 2.3 Çözümleyici
  • 2.4 Yüksek dereceli
• 3 Egzersiz çözüldü
  • 3.1 İlk egzersiz
  • 3.2 İkinci alıştırma
• 4 Kaynakça

özellikleri

Polinom denklemleri iki polinom arasındaki eşitlik tarafından oluşturulan ifadelerdir; yani, bilinmeyen değerler (değişkenler) ve sabit sayılar (katsayılar) arasındaki çarpmaların sınırlı toplamları ile değişkenlerin üslere sahip olduğu ve değerleri sıfır dahil olmak üzere pozitif bir tamsayı olabilir.

Üsler denklemin derecesini veya türünü belirler. En yüksek değerli üsse sahip olan ifadenin bu terimi, polinomun mutlak derecesini temsil edecektir..

Polinom denklemleri cebirsel denklemler olarak da bilinir, katsayıları gerçek veya karmaşık sayılar olabilir ve değişkenler bir harfle gösterilen bilinmeyen sayılardır, örneğin: "x".

P (x) 'de "x" değişkeni için bir değer kullanılması durumunda sonuç sıfıra (0) eşittir, o zaman bu değerin denklemi sağladığı söylenir (bir çözümdür) ve genellikle polinomun kökü olarak adlandırılır..

Bir polinom denklemi geliştirildiğinde, bütün kökleri veya çözümleri bulmak istersiniz..

tip

Değişken sayısına ve aynı zamanda üs derecelerine göre farklılaşan birkaç çeşit polinom denklemi vardır..

Dolayısıyla, polinom denklemleri - İlk terimin, derecesinin herhangi bir doğal sayı (n) olabileceği ve ikinci terimin sıfır olduğu düşünüldüğünde, yalnızca bilinmeyen bir polinom olduğu durumlarda, aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

için_{n *} xⁿ + için_{n-1 *} x^N-1 +... + a_{1 *} x¹ + için_{0 *} x₀ = 0

burada:

- için_n, için_N-1 ve bir₀, gerçek katsayılardır (sayılar).

- için_n sıfırdan farklı.

- N üssü denklemin derecesini temsil eden pozitif bir tamsayıdır..

- x aranması gereken değişken veya bilinmeyen.

Bir polinom denkleminin mutlak veya daha yüksek derecesi, polinomu oluşturanların tümü arasında daha büyük değere sahip olan; Bu şekilde, denklemler şöyle sınıflandırılır:

Birinci sınıf

Lineer denklemler olarak da bilinen birinci derece polinom denklemleri, derecenin (en büyük üs) 1'e eşit olduğu, polinomun P (x) = 0 formunda olduğu; ve doğrusal bir terim ve bağımsız bir terimden oluşur. Aşağıdaki gibi yazılmıştır:

ax + b = 0.

burada:

- a ve b, gerçek sayılardır ve ≠ 0.

- Balta doğrusal terimdir.

- b bağımsız terimdir.

Örneğin, denklem 13x - 18 = 4x.

Doğrusal denklemleri çözmek için, bilinmeyen x'i içeren tüm terimler, eşitliğin bir tarafına geçirilmeli ve olmayanlar ise, onu temizlemek ve bir çözüm elde etmek için diğer tarafa taşınmalıdır:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

Bu şekilde, verilen denklemin x = 2 olan tek bir çözümü veya kökü vardır..

İkinci sınıf

İkinci dereceden polinom denklemleri, ikinci dereceden denklemler olarak da bilinir, derecenin (en büyük üs) 2'ye eşit olduğu, polinomun P (x) = 0 biçiminde olduğu ve ikinci dereceden bir terimden oluştuğu , biri doğrusal diğeri bağımsız. Aşağıdaki gibi ifade edilir:

balta² + bx + c = 0.

burada:

- a, b ve c gerçek sayılardır ve ≠ 0.

- balta² ikinci dereceden bir terimdir ve "a" ikinci dereceden bir terimin katsayısıdır.

- bx doğrusal terimdir ve "b" doğrusal terim katsayısıdır.

- c bağımsız terimdir.

resolvente

Genel olarak, bu tür denklemlerin çözümü, denklemden x çıkartılarak verilir ve çözümleyici olarak adlandırılan aşağıdaki gibi bırakılır:

İşte, (b² - 4ac) denklemin ayırıcısı olarak adlandırılır ve bu ifade denklemin sahip olabileceği çözümlerin sayısını belirler:

- Evet (b² - 4ac) = 0, denklemin çift olan tek bir çözümü olacaktır; yani, iki eşit çözümünüz olacak.

- Evet (b² - 4ac)> 0, denklemin iki farklı gerçek çözümü olacak.

- Evet (b² - 4ac) < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).

Örneğin, 4x denklemine sahipsiniz² + 10x - 6 = 0, çözmek için, önce a, b ve c terimlerini tanımlayın ve sonra aşağıdaki formüle yerleştirin:

a = 4

b = 10

c = -6.

İkinci derecedeki polinom denklemlerinin üç terime sahip olmadığı durumlar vardır ve bu yüzden farklı şekilde çözülürler:

- Kuadratik denklemlerin doğrusal terime sahip olmaması durumunda (yani, b = 0), denklem ax olarak ifade edilir.² + c = 0. Çözmek için, x temizlendi² ve her üyeye karekökler uygulanır, bilinmeyenin alabileceği iki olası işaretin dikkate alındığını hatırlayarak:

balta² + c = 0.

x² = - c ÷ a

Örneğin, 5 x² - 20 = 0.

5 x² = 20

x² = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x₁ = 2.

x₂ = -2.

- Kuadratik denklemin bağımsız bir terimi olmadığında (yani, c = 0), denklem ax olarak ifade edilir.² + bx = 0. Çözmek için, ilk üyedeki bilinmeyen x'in ortak faktörünü çıkarmamız gerekir; denklem sıfıra eşit olduğundan, faktörlerden en az birinin 0'a eşit olacağı doğrudur:

balta² + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

Bu şekilde yapmanız gerekenler:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Örneğin: 5x denklemine sahipsiniz² + 30x = 0 İlk faktör:

5x² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

X ve (5x + 30) olan iki faktör üretilir. Bunlardan birinin sıfıra eşit olacağı ve diğer çözümün verileceği düşünülmektedir:

x₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x₂ = -6.

Ana derece

Daha yüksek derecedeki polinom denklemleri, üçüncü dereceden itibaren devam eden, herhangi bir derecedeki genel polinom denklemi ile ifade edilebilecek veya çözülebilen denklemlerdir:

için_{n *} xⁿ + için_{n-1 *} x^N-1 +... + a_{1 *} x¹ + için_{0 *} x₀ = 0

Bu, ikiden daha büyük bir dereceye sahip bir denklemin bir polinomun çarpanlara ayrılmasının sonucu olduğu için kullanılır; yani, bir derece ya da daha büyük derecedeki polinomların çarpımı olarak ifade edilir, ancak gerçek kökleri olmadan ifade edilir..

Bu tür denklemlerin çözümü doğrudandır, çünkü iki faktörün çarpımı, eğer faktörlerden biri boş ise (0) sıfıra eşit olacaktır; bu nedenle, bulunan her polinom denkleminin her biri, faktörlerini sıfırla eşleştirerek çözülmelidir..

Örneğin, üçüncü derece (kübik) x denklemine sahipsiniz³ + x² +4x + 4 = 0. Çözmek için aşağıdaki adımların izlenmesi gerekir:

- Terimler gruplandırılmıştır:

x³ + x² +4x + 4 = 0

(x³ + x² ) + (4x + 4) = 0.

- Bilinmeyenlerin ortak faktörünü bulmak için uzuvlar parçalanır:

x² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x² + 4)_*(x + 1) = 0.

- Bu şekilde sıfıra eşit olması gereken iki faktör elde edilir:

(x² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Faktörün görüldüğü görülmektedir (x² + 4) = 0 gerçek bir çözüme sahip olmazken, faktör (x + 1) = 0 evet. Bu nedenle, çözüm:

(x + 1) = 0

x = -1.

Çözülmüş egzersizler

Aşağıdaki denklemleri çözün:

İlk egzersiz

(2x² + 5)_*(x - 3)_*(1 + x) = 0.

çözüm

Bu durumda, denklem polinomların çarpımı olarak ifade edilir; yani, faktörlüdür. Bunu çözmek için her faktör sıfıra eşit olmalıdır:

- 2x² + 5 = 0, çözümü yok.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = -1.

Böylece, verilen denklemin iki çözümü vardır: x = 3 ve x = -1.

İkinci alıştırma

x⁴ - 36 = 0.

çözüm

Daha hızlı bir çözüme ulaşmak için kareler farkı olarak yeniden yazılabilecek bir polinom verildi. Böylece, denklem kalır:

(x² + 6)_*(x² - 6) = 0.

Denklemlerin çözümünü bulmak için her iki faktör de sıfıra eşittir:

(x² + 6) = 0, çözümü yok.

(x² - 6) = 0

x² = 6

x = ± √6.

Böylece, başlangıç ​​denkleminin iki çözümü vardır:

x = √6.

x = - √6.

referanslar

1. Andres, T. (2010). Matematiksel Olimpiyat Tresure. Springer. New York.
2. Angel, A.R. (2007). İlköğretim Cebiri Pearson Eğitimi,.
3. Baer, ​​R. (2012). Lineer Cebir ve Projektif Geometri. Kurye Şirketi.
4. Baldor, A. (1941). Cebir. Havana: Kültür.
5. Castaño, H. F. (2005). Hesaplamadan önce matematik. Medellin Üniversitesi.
6. Cristóbal Sánchez, M. R. (2000). Olimpiyat hazırlığı için matematik el kitabı. Jaita Üniversitesi I.
7. Kreemly Pérez, M.L. (1984). Üstün Cebir I.
8. Massara, N. C.-L. (1995). Matematik 3.