3 Lineer Denklem Sistemleri ve Bunların Çözümü

doğrusal denklemler bunlar bir veya daha fazla bilinmeyenli polinom denklemleridir. Bu durumda, bilinmeyenler güçlere yükseltilmez, ne de kendi aralarında çoğalmazlar (bu durumda denklemin 1 derece veya birinci derece olduğu söylenir).

Denklem, birden fazla olması durumunda bilinmeyen veya bilinmeyen olarak adlandıracağımız bilinmeyen bir unsurdan bir veya daha fazlasının bulunduğu matematiksel bir eşitliktir. Bu denklemi çözmek için bilinmeyenlerin değerini bulmak gerekir..

Doğrusal bir denklem aşağıdaki yapıya sahiptir:

için₀· 1 + a₁· X₁+ için₂· X₂+... + a_n· X_n= b

Nereye₀, için₁, için₂,..., bir_n değerlerini bildiğimiz ve katsayılar denilen gerçek sayılardır, b aynı zamanda bağımsız terim olarak bilinen bilinen bir gerçek sayıdır. Ve sonunda onlar X₁, X_2,..., X_n bilinmeyenler olarak bilinir. Bunlar değeri bilinmeyen değişkenlerdir..

Doğrusal denklem sistemi, bilinmeyenlerin değerinin her denklemde aynı olduğu bir doğrusal denklem setidir..

Mantıksal olarak, bir lineer denklem sistemini çözmenin yolu bilinmeyenlere değer atamaktır, böylece eşitlik doğrulanabilir. Başka bir deyişle, bilinmeyenler sistemin tüm denklemlerini aynı anda yerine getirecek şekilde hesaplanmalıdır. Aşağıdaki gibi bir lineer denklem sistemini temsil ediyoruz.

için₀· 1 + a₁· X₁ + için₂· X₂ +... + a_n· X_n = a_{n + 1}

b₀· 1 + b₁· X₁ + b₂· X₂ +... + b_n· X_n = b_{n + 1}

c₀· 1 + c₁· X₁ + c₂· X₂ +... + c_n· X_n = c_{n + 1}

... .

d₀· 1 + d₁· X₁ + d₂· X₂ +... + d_n· X_n = d_{n + 1}

 nerede bir_0, için₁,..., bir_n,b₀,b₁,..., b_n ,c₀ ,c₁,..., c_n vb bize gerçek sayılar ve çözülmeyenler X₀,..., X_n ,X_{n + 1}.

Her lineer denklem bir çizgiyi temsil eder ve bu nedenle N lineer denklemlerin bir denklem sistemi uzayda çizilen N'yi temsil eder.

Her bir lineer denklemin sahip olduğu bilinmeyenlerin sayısına bağlı olarak, bahsedilen denklemi temsil eden çizgi farklı bir boyutta, yani iki bilinmeyenli bir denklemde gösterilecektir (örneğin, 2 · X₁ + X₂ = 0) iki boyutlu uzayda bir çizgiyi, üç bilinmeyenli bir denklemi temsil eder (örneğin 2 · X₁ + X₂ - 5 · X₃ = 10) üç boyutlu bir uzayda vb. Temsil edilir..

Bir denklem sistemini çözerken, X'in değerleri₀,..., X_n ,X_{n + 1} çizgiler arasındaki kesme noktaları.

Bir denklem sistemini çözerek farklı sonuçlara ulaşabiliriz. Elde ettiğimiz sonucun türüne bağlı olarak, 3 tip lineer denklem sistemini ayırt edebiliriz:

1- Belirsiz uyumluluk

Şaka gibi görünse de, denklem sistemini çözmeye çalışırken, 0 = 0 stilinin açıklığına ulaşmamız mümkündür..

Bu tür bir durum denklemler sistemi için sonsuz çözümler olduğunda ortaya çıkar ve bu durum denklem sistemimizde denklemlerin aynı çizgiyi temsil ettiği ortaya çıktığında ortaya çıkar. Grafik olarak görebiliriz:

Bir denklem sistemi olarak aldığımız:

Çözülmesi gereken 2 bilinmeyenli 2 denklemi kullanarak çizgileri iki boyutlu bir düzlemde temsil edebiliriz

Çizgileri aynı görebildiğimiz için, ilk denklemin tüm noktaları ikinci denkleminkilerle çakışır, bu nedenle çizginin sahip olduğu noktalar kadar sınırsız noktaları vardır, yani.

2- Uyumsuz

Adı okurken bir sonraki denklem sistemimizin bir çözümü olmayacağını hayal edebiliriz.

Örneğin, bu denklem sistemini çözmeye çalışırsak,

Grafiksel olarak:

İkinci denklemin tüm terimlerini çarparsak, X + Y = 1'in 2 · X + 2 · Y = 2'ye eşit olduğunu öğreniriz. Ve eğer bu son ifade ilk denklemden çıkarılırsa,

2 · X-2 · X + 2 · Y -2 · Y = 3-2

Veya aynı olan

0 = 1

Bu durumda olduğumuzda, denklem sisteminde temsil edilen çizgilerin paralel olduğu anlamına gelir, yani tanım gereği hiçbir zaman kesilmez ve kesim noktası olmaz. Bir sistem bu şekilde sunulduğunda, tutarsız bağımsız olduğu söylenir..

3- Kararlı destek

Sonunda, denklem sistemimizin tek bir çözüme sahip olduğu, kesişen ve bir kesişme noktası oluşturan çizgilerimizin olduğu duruma geldik. Bir örnek görelim:

Bunu çözmek için iki denklemi ekleyebiliriz; böylece elde ederiz.

(3 · X-4 · Y) + (2 · X + 4 · Y) = -6 + 16

Eğer sadeleştirirsek, ayrıldık

5 · X + 0 · Y = 5 · X = 10

Bundan X = 2 ve ikame ya da X = 2'yi orijinal denklemlerin herhangi birinde ikame ettiğimizden kolayca çıkardık. Y = 3.

Görsel olarak olacaktır:

Lineer denklem sistemlerinin çözüm yöntemleri

Önceki bölümde gördüğümüz gibi, toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve değiştirme gibi basit işlemlere dayalı 2 bilinmeyen ve 2 denklemli sistemler için, birkaç dakika içinde çözebiliriz. Ancak bu metodolojiyi daha fazla denklem ve bilinmeyen sistemlere uygulamaya çalışırsak, hesaplamalar sıkıcı hale gelir ve kolayca hata yapabiliriz..

Hesaplamaları basitleştirmek için birkaç çözüm yöntemi vardır, ancak şüphesiz en yaygın yöntemler Cramer Kuralı ve Gauss-Jordan'ın Ortadan Kaldırılmasıdır..

Cramer yöntemi

Bu yöntemin nasıl uygulandığını açıklamak için matrisinin ne olduğunu bilmek ve onun determinantını nasıl bulacağınızı bilmek önemlidir, bu iki kavramı tanımlamak için parantez yapalım..

bir matris yatay ve dikey çizgilere yerleştirilmiş ve bir dikdörtgen şeklinde düzenlenmiş bir dizi sayı veya cebirsel sembolden başka bir şey değildir. Temamız için matrisi, denklem sistemimizi ifade etmenin daha basit bir yolu olarak kullanacağız..

Bir örnek görelim:

Lineer denklem sistemi olacak

Özetleyebileceğimiz bu basit denklem sistemi, 2 × 1 matrisle sonuçlanan iki 2 × 2 matrisin çalışmasıdır.

İlk matris tüm katsayılara karşılık gelir, ikinci matris çözülmeye bilinmeyenler ve eşitlikten sonra bulunan matris denklemlerin bağımsız terimleriyle tanımlanır.

determinant sonucu gerçek sayı olan bir matrise uygulanan bir işlemdir.

Önceki örneğimizde bulduğumuz matris durumunda, belirleyicisi şöyle olacaktır:

Matris ve determinant kavramları tanımlandıktan sonra, Cramer yönteminin nelerden oluştuğunu açıklayabiliriz..

Bu yöntemle, bir matrisin determinantlarının hesaplanması 4 × 4 veya daha yüksek matrisler için çok zor olduğundan sistem üç bilinmeyenli üç denklemi geçmediği sürece kolayca bir lineer denklem sistemini çözebiliriz. Üçten fazla lineer denklem içeren bir sistem olması durumunda, Gauss-Jordan'ı ortadan kaldırarak yöntem önerilmektedir..

Önceki örneğe devam edersek, Cramer aracılığıyla iki belirleyiciyi hesaplamamız yeterlidir ve onunla iki bilinmeyenimizin değerini bulacağız..

Sistemimiz var:

Ve matrislerle temsil edilen bir sistemimiz var:

X'in değeri bulundu:

Kısaca, bölümün paydasında bulunan determinantın hesaplanmasında, ilk komünemi bağımsız terimler matrisi için değiştirdik. Ve bölmenin paydasında orijinal matrisimizin belirleyicisine sahibiz.

Elde ettiğimiz Y'yi bulmak için aynı hesaplamaları yapmak:

Gauss-Ürdün'ün kaldırılması

Tanımlarız genişletilmiş matris matrisin sonuna bağımsız terimleri eklediğimiz bir denklem sisteminden kaynaklanan matrise.

Gauss-Jordan'ı ortadan kaldıran yöntem, matrisin sıraları arasındaki işlemler aracılığıyla, genişletilmiş matrisimizi, köşegen dışındaki tüm alanlarda sıfırları olan, biraz elde etmem gereken daha basit bir matrise dönüştürmemizi içerir. Aşağıdaki gibi:

X ve Y'nin bilinmeyenlerimize karşılık gelen gerçek sayılar olduğu yerlerde.

Gauss-Jordan'ı ortadan kaldırarak bu sistemi çözelim:

Zaten matrisimizin sol alt kısmında bir sıfır elde etmeyi başardık, bir sonraki adım sağ üst kısmında 0 almak.

Matrisin sol üst kısmında bir 0 elde ettik, şimdi sadece köşegenleri dönüştürmek zorundayız ve sistemimizi Gauss-Jordan tarafından zaten çözdük.

Bu nedenle şu sonuca vardık:

referanslar

1. vitutor.com.
2. algebra.us.es.
3. Doğrusal denklem sistemleri (tarih olmadan). Uco.es kurtarıldı.
4. Doğrusal denklem sistemleri. Bölüm 7. (tarihsiz). Sauce.pntic.mec.es sitesinden alındı..
5. Lineer Cebir ve Geometri (2010/2011). Doğrusal denklem sistemleri. Bölüm 1. Cebir Bölümü. Sevilla Üniversitesi. İspanya. Algebra.us.es sitesinden kurtarıldı.